Математический Анализ

Геометрический смысл производной

производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.

Алгебра производных

Формулы

1.[cf`(x)] = cf`(x)

2.[f(x) ± g(x)]` = f`(x) ± g`(x)

3.[f(x) * g(x)]` = f`(x)g(x) + f(x)g`(x)

4.[f(x)/g(x)]` = (f`(x)g(x) - f(x)g`(x)) / g^2(x)

5.[f(g(x))]` = f`(g(x)) * g`(x)

6.[f^(-1)(x)]` = 1/(f`(f^(-1)(x)))

Особые случаи производных

Односторонние производные

F`( x - 0 )

F`( x + 0 )

Бесконечные производные

F`( x ) = 0; # (sqrt( x ))` в точке 0

Несуществование производных

# Функция Дирихле

Формула Коши -
https://clck.ru/SpMFc

Формула Лагранжа
(теорема о среднем значении)

Производные высших порядков

Производная n порядка определяется
как производная от производной (n-1)
порядка

Дифференциал

Теорема о дифференцируемости функций -
Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции -
Если функция дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке.

Дифференциалы высших порядков
(дифференциалом n порядка называется дифференциал
от дифференциала (n-1) порядка)

Полный дифференциал

Аппроксимация

Формула Тейлора -
https://clck.ru/GpeEw

Частный случай формулы Тейлора -
ряд Маклорена

Правило Лопиталя

Раскрытие неопределённостей типа 0/0

Раскрытие неопределённостей типа inf/inf

Частные производные

При вычислении частной производной по какой-либо
переменной все остальные переменные выступают как
константы

Смешанные производные

Производные от неявных функций

Производные от функций, заданных параметрически

Параметрическое задание функции
считается самым общим способом задания кривых
на плоскости

Первообразная

Функция F(x) называется первообразной
функции f(x), если F`(x) = f(x).

Связь с декартовыми координатами

x = p*cosφ

y = p*sinφ

Площадь криволинейного сектора

P = (1/2)*ʰₐ∫r^2(θ)dθ

Программное обеспечение для станков с ЧПУ

Пределы

Пределы функции

Бесконечно малые

бесконечно большие

Односторонние пределы

Замечательные пределы

Типы неопределенности

Нестепенные

{ 0 / 0 } { inf / inf } { 0 * inf } { inf - inf }

Степенные

{ 1^0 } { 0^0 } { inf^0 }

Бином Ньютона

Свойства функции

Монотонность

Экстремумы

Необходимое условие

F`(x) = 0

Достаточное условие

Если F`^(2n) ( x ) > 0, то в точке x - локальный минимум,
если F`^(2n)( x ) < 0, то в точке x - локальный максимум.

Непрерывность функции

Разрывы

Виды разрывов

Устранимый разрыв -
разрыв, при котором левосторонний
предел и правосторонний предел
равны друг другу, но в функция не
определена в точке.

Разрыв 1-го рода - разрыв, при котором
у функции существуют как конечный
левый предел, так и конечный правый предел,
но левый и правый пределы различны. Также
именуется скачком.

Разрыв 2-го рода - разрыв, при котором хотя
бы один из пределов бесконечный.

Выпуклость

Выпукла вниз ( выпукла )

Производная четной степени больше нуля

Выпукла вверх ( вогнута )

Производная четной степени меньше нуля

Метод Ньютона

Определение - корень уравнения f(x) = 0
считается отделенным на отрезке[a,b], если на
этом отрезке f(x) = 0 не имеет других корней.
Отделить корни - значит разбить всю область
определения на отрезки, в каждом из которых содержится один корень

Теория Вероятностей

Математическая Статистика

Мат. Статистика помогает определять участки , в которых могли быть фальсификации и оценить примерное количество голосов, которые были вброшены.

Проверка статистических гипотез

Дисперсионный анализ

Медицина

Математическое программирование

Списки, Массивы и матрицы в программировании

Физика

Ни одна научная статья(по теор. физике) не обходится без компьютерного моделирования физических процессов

Развитие квантовой механики привело к появлению нового раздела в криптографии- Квантовой

Алгоритмы квантового шифрования

Экономика

Эконометрика

Расчеты в целях планирования потребности ресурсов, либо разработки плана или проекта

Моделирование хозяйственных процессов или явлений

Основные определения (по большей части - теоретические сведения, необходимые для работы с этой темой)

Частные суммы

Общий член

Остаток ряда после n-ого слагаемого

Сходимость / расходимость рядов

Простейшие свойства сходящихся рядов (набор свойств, без которых дальнейшее освоение темы невозможно)

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков.
Наоборот, из сходимости остатка вытекает сходимость
исходного ряда.

2. Если ряд Ak сходится, то lim(an) = 0 при n->inf

3. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю

Следствие (признак расходимости ряда): Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд
расходится.

4. Если ряд сходится, то ряд, все члены которого умножены на константу (отличную от 0) также сходится. И сумма полученного ряда равна сумме изначального ряда, умноженного на константу.

5. Если ряды (1) и (2) сходятся, то ряд, образованный попарными суммами (разностями), также будет сходиться и будет верно соотношение: сумма нового ряда будет равна сумме рядов (1) и (2)

Признаки сходимости / расходимости (помогает определять целесообразность вычисления при помощи электронно-вычислительных устройств)

Интегральный признак Коши

Признак сходимости (радикальный) Коши

Признак Даламбера

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы существовало такое L < +inf, что для всех n, An <= L

Если есть два ряда A и B с положительными членами такие, что для всех n, An <= Bn, то в этом случае: если расходится ряд А, то расходится ряд В; если сходится ряд В, то сходится и ряд А

Эталонные ряды (также необходимая теория)

Геометрический ряд

Гармонический ряд

Обобщённый гармонический ряд

Также к применению числовых рядов можно отнести представление различных тригонометрических и других функций в памяти компьютеров.

Работа с различными графическими объектами

Программные расчёты поведения физических объектов

Неопределённые интегралы

Совокупность всех первообразных функции f (x)

Свойства

∫ c * f(x)dx = c * ∫ f(x)dx

∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx

d( ∫ f(x)dx ) = f(x)dx

∫dF(x) = F(x) + C

Определённые интегралы

Число, равное пределу интегральных сумм

Свойства

ʰₐ∫ f(x)dx = - ᵃₕ∫ f(x)dx

Если a < c < h, то ʰₐ∫ f(x)dx = ᵉₐ∫ f(x)dx = ʰₑ ∫ f(x)dx

ʰₐ∫ kf(x)dx = k ʰₐ∫ f(x)dx

ʰₐ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ʰₐ∫ f(x)dx ± ʰₐ∫ g(x)dx

Если a < h, то |ʰₐ∫ f(x)dx| ⩽ ʰₐ∫ |f(x)|dx

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от разрывных функций

Род несобственного интеграла

1 род

Функция f(x) непрерывна на [a, +∞)

Сходимость и расходимость

Сходимость

Если предел lim(A->+∞) ᴬₐ∫ f(x)dx существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится (существует)

Расходимость

Если предел lim(A->+∞) ᴬₐ∫ f(x)dx равен бесконечности или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится (не существует).

2 род

Cнимается условие ограниченности подынтегральной функции. Будем называть с особой точкой функции f(x), если lim(x -> c) |f(x)| = +∞

Сходимость и расходимость

Сходимость

Если предел lim(ŋ->+0) ᵇ-ⁿₐ∫ f(x)dx существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится (существует)

Расходимость

Если предел lim(ŋ->+0) ᵇ-ⁿₐ∫ f(x)dx равен бесконечности или вообще не существует, то говорят, что интеграл расходится (не существует).

Методы интегрирования

Метод разложения

Метод замены переменных

Метод интегрирования по частям

Метод разложения дробно-рациональных
функций на простейшие

Метод неопределённых коэффициентов

Это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое.

Числовые множества

Множество, элементами которого являются
вещественные числа, называется числовым множеством.
Числовые множества принято обозначать {x}, где под х будут пониматься вещественные числа.

Супремум множества

наименьшая из всех верхних граней.

Инфинум множества

наибольшая из всех нижних граней.

Операции

A⊂B

A∩B

A∪B

B∖A

Сейчас активно развивается технологии распознавания лиц(Например,Face id).

Технологии беспилотных автомобилей

В обозримом будущем дроны смогут распознавать людей. Например, это поможет искать человека, который заблудился в лесу, и т.д

МРТ, ЭКГ и другие снимки помогают врачам ставить правильные диагнозы. Но точно таким же навыкам можно обучить машину. Например, Компания Arterys разработала программную платформу на базе системы компьютерного зрения, которая успешно визуализирует и анализирует медицинские изображения в диагностике сердечно-сосудистых заболеваний.

С помощью алгоритмов анализа Big Data можно решать задачи по использованию архивных данных и статистики для построения прогнозов на будущее

Глубокое обучение

Алгоритмы распознования речи

Интернет переводчики

Машинное обучение

Метод обратного распространения ошибок

Функция активации

Минимизация простоев на производстве

Создание системы управления производством. С помощью датчиков и машинного обучения можно не только выполнять узкие задачи, например предотвращать поломки, но и управлять всем производством

Обученный алгоритм может предсказывать поведение клиентов:
определять, кто в ближайшее время совершит покупку;
понимать, кто какие товары предпочитает, чтобы их рекомендовать;
предлагать персонализированные скидки, чтобы стимулировать покупки.

Мы часто видим таргетированную рекламу в социальных сетях на основе наших подписок, истории браузера.