Conjuntos, Relaciones y Funciones

Un conjunto es una colecci´on de
objetos, llamados elementos, que tiene la propiedad que dado un objeto cualquiera, se puede
decidir si ese objeto es un elemento del conjunto o no.

El orden de los elementos no importa en un conjunto, y en un conjunto
no se tiene en cuenta repeticiones de elementos.

(Cardinal de un conjunto.) Sea A un conjunto, se llama cardinal de A a
la cantidad de elementos distintos que tiene A, y se nota #A. Cuando el conjunto no tiene un
n´umero finito de elementos, se dice que es infinito, y se nota #A = ∞.

(Subconjuntos e Inclusi´on.) Sea A un conjunto. Se dice que un conjunto
B est´a contenido en A, y se nota B ⊆ A (o tambi´en B ⊂ A), si todo elemento de B es un elemento
de A. En ese caso decimos tambi´en que b est´a inclu´ıdo en A, o que B es un subconjunto de A.
Si B no es un subconjunto de A se nota B ̸⊆ A (o B ̸⊂ A).

(Igualdad de conjuntos.)
A = B ⇐⇒ A ⊆ B y B ⊆ A.
Es decir A = B si tienen exactamente los mismos elementos (sin importar el orden y sin tener
en cuenta repeticiones de elementos). (Aqu´ı, el s´ımbolo “⇔” es el s´ımbolo de la bi-implicaci´on,
que se lee “si y s´olo si”.)

. (Combinatoria, o el arte de contar.) Sea A es un conjunto finito y
sea B ⊆ A. Entonces #B ≤ #A. (Esto vale tambi´en para conjuntos infinitos, como ver´an m´as
adelante los matem´aticos.)

(Conjunto de partes.) Sea A un conjunto. El conjunto de partes de A, que
se nota P(A), es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, o sea el conjunto cuyos
elementos son los subconjuntos de A. Es decir
P(A) = {B : B ⊆ A} o tambi´en B ∈ P(A) ⇐⇒ B ⊆ A.

Sean p(x), q(x) predicados que pueden ser Verdaderos o Falsos sobre los elementos de un conjunto
U. Se vio que las operaciones b´asicas de conjuntos est´an definidas por medio del no (para el
complemento), del o no excluyente para la uni´on, del y para la intersecci´on, y del o excluyente

para la diferencia sim´etrica. Estos se llaman conectores l´ogicos: ¬ (“no”, o “NOT”), ∨ (“o” no

excluyente, u “OR”), ∧ (“y”, o “AND”), ∨∨ (“o excluyente”, u “XOR”), y se les puede agregar

⇒ (implica, o si . . . entonces) y ⇔ (si y solo si).

El nombre producto cartesiano fue puesto en honor al matem´atico, f´ısico y fil´osofo franc´es
Ren´e Descartes, 1596-1650. El plano euclideo R
2 = {(x, y); x, y ∈ R} representado mediante

los ejes cartesianos es el plano donde constantemente dibujamos los gr´aficos de las funciones.

Sean A, B conjuntos. El producto cartesiano de A con B, que se nota A×B,
es el conjunto de pares ordenados
A × B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

(Combinatoria: Cardinal del producto cartesiano y del conjunto
de partes.)
1. Sean A y B conjuntos finitos. Entonces #(A × B) = #A · #B.

Si A = {a1, . . . , an} y B = {b1, . . . , bm}, entonces

A × B = {(a1, b1), . . . ,(a1, bm),(a2, b1), . . . ,(a2, bm), . . . ,(an, b1), . . . ,(an, bm)}.

Complemento: Sea A subconjunto de un conjunto referencial U. El complemento de A
(en U) es el conjunto A′ de los elementos de U que no pertenecen a A. Es decir
A
′ = {b ∈ U : b /∈ A}, o tambi´en ∀ b ∈ U, b ∈ A
′ ⇐⇒ b /∈ A.

Uni´on: Sean A, B subconjuntos de un conjunto referencial U. La uni´on de A y B es el
conjunto A ∪ B de los elementos de U que pertenecen a A o a B. Es decir
A∪B = {c ∈ U : c ∈ A y c ∈ B}, o tambi´en ∀ c ∈ U, c ∈ A∪ B ⇐⇒ c ∈ A o c ∈ B.

Intersecci´on. Sean A, B subconjuntos de un conjunto referencial U. La intersecci´on de
A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos de U que pertenecen tanto a A como a B. Es
decir
A ∩ B = {c ∈ U : c ∈ A y c ∈ B}, o tambi´en c ∈ A ∩ B ⇐⇒ c ∈ A y c ∈ B.

Proposici´on 1.1.8. Sean A, B, C conjuntos dentro de un conjunto referencial U. Entonces
Leyes de De Morgan, por el matem´atico brit´anico Augustus De Morgan, 1806-1871:
(A ∪ B)
′ = A
′ ∩ B
′
y (A ∩ B)
′ = A
′ ∪ B
′
.
Leyes distributivas:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) y A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Diferencia −: A − B es el conjunto de los elementos de A que no son elementos de B, o
tambi´en, A − B = A ∩ B′
. Es decir

A − B = {a ∈ A : a /∈ B}, o tambi´en a ∈ A − B ⇐⇒ a ∈ A y a /∈ B.

Diferencia sim´etrica △: A △ B es el conjunto de los elementos de U que pertenecen a
A o a B pero no a los dos a la vez. Es decir
A △ B = {c ∈ U : (c ∈ A y c /∈ B) o (c ∈ B y c /∈ A)}.

(Combinatoria: Cardinal de la uni´on y del complemento.)
Sean A, B conjuntos finitos dentro de un conjunto referencial U.
Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces #(A ∪ B) = #A + #B.
En general #(A ∪ B) = #A + #B − #(A ∩ B).
Si U es un conjunto finito, entonces #(A′
) = #U − #A.
Se deduce por ejemplo #(A − B) = #A − #(A ∩ B) y #(A △ B) = #A + #B − 2#(A ∩ B).

Se dice que R es reflexiva si (a, a) ∈ R, ∀ a ∈ A (dicho de otra manera, a R a, ∀ a ∈ A).
En t´erminos del grafo de la relaci´on, R es reflexiva si en cada v´ertice hay una flecha que
es un “bucle”, es decir que parte de ´el y llega a ´el.

Se dice que R es sim´etrica si cada vez que un par (a, b) ∈ R, entonces el par (b, a) ∈ R
tambi´en (dicho de otra manera, ∀ a, b ∈ A, a R b ⇒ b R a). En t´erminos del grafo de la
relaci´on, R es sim´etrica si por cada flecha que une dos v´ertices en un sentido, hay una

flecha (entre los mismos v´ertices) en el sentido opuesto.

Se dice que R es antisim´etrica si cada vez que un par (a, b) ∈ R con a ̸= b, entonces el
par (b, a) ∈ R/ (dicho de otra manera, ∀ a, b ∈ A, a R b y b R a ⇒ a = b). En t´erminos
del grafo de la relaci´on, R es antisim´etrica si no hay ning´un par de flechas en sentidos

opuestos que unen dos v´ertices distintos.

Se dice que R es transitiva si para toda terna de elementos a, b, c ∈ A tales que (a, b) ∈ R
y (b, c) ∈ R, se tiene que (a, c) ∈ R tambi´en (dicho de otra manera, ∀ a, b, c ∈ A, a R b y
b R c ⇒ a R c). En t´erminos del grafo de la relaci´on, R es transitiva si hay un “camino

directo” por cada “camino con paradas”.

Daniel Defoe - Robinson Crusoe

Literary Work

Black cat crossing your path

Superstitions

Superstitions

f es inyectiva si para todo elemento b ∈ B existe a lo sumo un elemento a ∈ A para el cual
f(a) = b. Dicho de otra manera, f es inyectiva si para todo a, a′ ∈ A tales que f(a) = f(a)entonces a = a

f es sobreyectiva si para todo elemento b ∈ B existe al menos un elemento a ∈ A para el
cual f(a) = b. Dicho de otra manera, f es sobreyectiva si Im(f) = B.

f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva, es decir para todo elemento b ∈ B
existe exactamente un elemento a ∈ A para el cual f(a) = b

Sea f : A → B una funci´on inyectiva. Entonces #A ≤ #B.

Sea f : A → B una funci´on sobreyectiva. Entonces #A ≥ #B.

Sea f : A → B una funci´on biyectiva. Entonces #A = #B.