DERIVADA
Regla de asignación o
correspondencia.
Una regla de correspondencia consiste en asignar un elemento único de un cierto conjunto a cada elemento único de otro conjunto.
Al definir una función matemática, lo que se hace es establecer el medio a través del cual se deben realizar las correspondencias entre dos conjuntos. La función en sí misma, por lo tanto, actúa como regla de correspondencia. Dicho de otro modo, el cálculo de una función consiste en descubrir cuál es la correspondencia general que existe en un conjunto con respecto a otro.
Funciones algebraicas y trascendentes.
Una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos elementos son a su vez polinomios o monomios. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.
Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación.1 Se dividen en trascendentes elementales y superiores. Las primeras son aquellas que pueden ser expresadas mediante una cantidad finita de operaciones de suma, resta, multiplicación, división, radicación, potenciación a exponentes constantes reales y logaritmación
Función de varias variables
Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variables independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z.
Función continúa y discontinua
una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función
Las Funciones Discontinuas son aquellas funciones en las que existen saltos o están rotas en alguna parte de su trazo.
Incremento de una función
La palabra incremento se entiende como el aumento del valor de una variable. El incremento Δx de una variable x es el cambio en x cuando esta crece o decrece desde un valor x = x1, hasta un valor x = x2
y se escribe Δx = x2 = x1
Teoremas De Límites
Límite en un punto
Límite en una función definida a trozos
Para estudiar el límite de una función definida a trozos, en primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos. Después,
si estos coinciden, este es el valor del límite,
si no coinciden, el límite no existe.
Un ejemplo de una función donde los limites laterales si coinciden es la siguiente
Límite cuando x tiende a infinito
Para calcular el límite de una función cuando x →∞ se sustituyen las x por ∞.
El límite cuando x → ∞ de una función polinómica es ±∞ dependiendo de si el término de mayor grado es positivo o negativo.
Límite cuando x tiende a menos infinito
Cuando x → ∞ se tiene que:
Aplicando esto a algunas funciones polinómicas
Límite de la función exponencial
Si a > 1
.
Si 0 < a < 1
a
Límite de la función logarítmica
Si a > 0
-
Si 0 < a < 1
.
Indeterminación
la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.
REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN
Se atribuye una f(x) rx+∆x y se calcula el nuevo valor de f(y)+∆y
Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene ∆y(incremento de la función)
Se divide ∆y por ∆x(incremento de la variable independiente)
Se calcula el límite de este cociente cuando x tiende a 0. El limite hallado es la derivación buscada, la operación de la derivada de una función se llama derivación
A lo largo de la historia del cálculo
diferentes autores han ideado diferentes
notaciones para la derivada de una función de un punto.
La notación mas simple es la de
Lagrange, que consiste en poner
una prima arriba de la derecha
de la función.
f(x)'
(x²-3x+4)' (Sen x)'
La notación de Leibniz tiene la
ventaja de sugerir a la derivada
como un cociente entre dos
cantidades muy pequeñas.
df
dx
Y si escribimos y=f(x), expresamos
su derivada como:
dy
dx
Por ejemplo:
d (x2-3x+4)
dx
Si se quiere indicar en qué
punto se está evaluando, se
escribe, por ejemplo:
df (4)
dx
La Notación de Cauchy es
Dxf Dxf(x2-3x+4)
Y es útil cuando se quiere
indicar que la derivada es
un operador que actúa
sobre las funciones.
Como una simplificación
de la notación de Cauchy,
en el tema de ecuaciones
diferenciales, se suele
escribir la derivada,
poniendo la x como
subíndice fx