Espacio vectorial
Definición
En álgebra lineal, un espacio vectorial
es una estructura algebraica creada
a partir de un conjunto no vacío, una
operación interna y una operación
externa que satisface 8 propiedades
fundamentales. A los elementos de un
espacio vectorial se les llama vectores
y a los elementos del cuerpo se les
conoce como escalares
Propiedades
Unicidad del vector neutro de la propiedad 3
Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4
Unicidad del elemento 1 en el cuerpo K
Unicidad del elemento inverso en el cuerpo K
Producto de un escalar por el vector neutro
Producto del escalar 0 por un vector
Espacio generado
En álgebra lineal, dado un espacio
vectorial V,
se llama sistema generador de V
a un conjunto de vectores,
pertenecientes a V, a partir del
cual se puede generar el
espacio vectorial V
completo. En este caso,
el espacio vectorial
V se denomina conjunto
generado o espacio generado
Combinaciones Lineales
una combinación lineal es una expresión matemática que consiste en la suma entre pares de elementos, de determinados conjuntos, multiplicados entre sí.
En particular, la combinación lineal de un sistema de vectores se trata de un vector de la forma
v=k_1 v_1+k_2 v_2+⋯…k_n v_n= ∑_(i=1)^n▒〖v_i k_i 〗
con los k_i elementos de un cuerpo. La definición, provista de esta manera, da lugar a otras definiciones y herramientas importantes, como son los conceptos de independencia lineal y base de un espacio vectorial.
Independencia Lineal de
Vectores
En álgebra lineal, un conjunto de
vectores es linealmente independiente
si ninguno de ellos puede ser escrito
con una combinación lineal de los
restantes. Por ejemplo, en R3, el
conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0)
y (0, 0, 1) es linealmente independiente,
mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y
(3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero
es la suma de los dos primeros.
Dimensión de un
espacio vectorial
La dimensión de un espacio vectorial
(también llamada dimensión de
Hamel de un espacio vectorial, para
distinguirla de la dimensión de Hilbert
en el caso de los espacios de Hilbert)
es el número de vectores que forman
una base [de Hamel] del espacio vectorial.
Nulidad
NA se denomina el espacio nulo
de A y í(A) = dim NA se denomina
nulidad de A. Si NA contiene sólo
al vector cero, entonces í(A) = 0.
Nota. El espacio nulo de una
matriz también se conoce como kernel.
Espacio columna
de una matriz
El espacio columna de una matriz
es la imagen de la transformación
lineal asociada a dicha matriz, y
como el rango de una matriz
coincide con la dimensión de la
imagen, podemos concluir que la
dimensión del espacio columna de
A es igual al rango de A
Espacio renglón
Definición: Supongamos que A
es una matriz de
tamaño m ⇥ n. El espacio fila
o renglón de A es el
subespacio de Rn generado
por las filas de A. Este
subespacio se denota por Ren(A).
Rango
En matemáticas, el teorema rango–nulidad
del álgebra lineal, en su forma más sencilla,
habla de la relación entre el número de
columnas de una matriz, su rango y su
nulidad. Específicamente, si A es una matriz
de orden m x n (con m filas y n columnas)
sobre algún cuerpo, entonces