Potències

Si N és imparell - resultat negatiu
Si N es parell - resultat positiu

an= a · a · ... · a (multiplicació n vegades)
(-4)3= (-4) · (-4) · (-4) = -64

Nombre elevat a 0 = 1
excepte 0 elevat a 0 que dona error

(-4)0= 1
(2/5)0= 1

Si un nombre qualsevol diferent de 0 està
elevat a un nombre enter negatiu
aleshores es compleix:

a-n = 1/an
(-4)-3 = 1/(-4)3= 1/(-4) · 1/(-4) · 1/(-4) = - 1/64

Si multipliquem un nombre elevat a un exponent
positiu pel mateix nombre elevat al mateix
exponent però negatiu, el resultat sempre és 1.

Π2· Π-2 = 9’8696044... · 0’10132118... = 1
Això vol dir que aquests nombres són inversos l’un de l’altre.

Per calcular potències amb la calculadora
tenim la tecla ^ o be xy.

45= 4 ^ 5 = 1024

Propietat 1: Producte de potencies de la mateixa base

an· am = an+m

Exemples:
25· 2-7 = 25+(-7) = 2-2
(3/4)-4 · (3/4)-3 = (3/4)-4+(-3) = (3/4)-7

Propietat 2: Quocient de potencies de la mateixa base

an: am = an-m

Exemples:
25: 2-7 = 25-(-7) = 212
(3/4)-4 : (3/4)-3 = (3/4)-4-(-3) = (3/4)-1

Propietat 3: Potència d’una potència

(an)m = an·m

Exemple:
[(-3’14)-3]-5 = (-3’14)(-3)·(-5) = (-3’14)15

Molt importants els parèntesi, no és la mateixa expressió
(43)2, que la mateixa sense parèntesi.

Propietat 1: Potència d’un producte

an· bn= (a · b)n

Exemple:
58· 28= (5 · 2)8= 108= 100.000.000

Propietat 2: Potència d’un quocient

an: bn= (a : b)n

Exemple:
145: 75= (14 : 7)5= 25= 32

Trobar una manera d’anotar aquestes
quantitats sense haver de posar tants zeros.
m · 10n

3’4 · 106

PASSAR DE NOTACIÓ CIENTÍFICA A NOTACIÓ NORMAL

Dos cassos:
CAS 1: La potència de 10 es positiva
Desplacem la coma a la dreta tants llocs com ens indiqui l’exponent.
Exemple:
3’546 · 105= 354600’ = 354600

CAS 2: La potència de 10 és negativa
Desplacem la coma a l’esquerra tants llocs com ens indiqui l’exponent.
Exemple:
2’3 · 10-4 = ’00023 = 0’00023

Per escriure nombres amb notació científica fem servir la tecla exp.
Exemple:
5’3·107→ 5 . 3 exp 7 1’65·10-14 → 1 . 6 5 exp - 1 4

La representació que surt a la calculadora pot ser variada depenent del tipus decalculadora que tinguem.
Exemple:
5’3·107→ 5.307 → 5.3x1007

Exemple:
7’48·105+ 6’43·105→ 7 . 4 8 exp 5 + 6 . 4 3 exp 5 → 1.39105 → 1’391·105
S’ha de tenir cura en com escriure la solució, no serà valida solucions com les que dona la calculadora, el resultat s’ha d’escriure amb notació científica correcta.

√a = b si és compleix que b2= a

Això vol dir que:
√9 = 3, -3 ja que 32= 9 i (-3)2= 9.

Ès fàcil veure també que:
√0 = 0
√(-4) no existeix (perquè no hi ha cap nombre al quadrat que doni negatiu)

∛a = b si és compleix que b3= a

A partir d’aquesta definició és fàcil veure que:
∛64 = 4, ja que 43= 64 (però no -4, ja que (-4)3= -64...)
∛-27 = -3, ja que (-3)3= -27
∛0 = 0, ja que 03= 0

L’arrel quadrada= nombre positiu= dues solucions, una negativa i una positiva.
L’arrel cúbica= nombre positiu=1 solució positiva.
L’arrel quadrada= nombre negatiu no existeix.
L’arrel cúbica= nombre negatiu sempre= nombre negatiu.

L’arrel n-essima d’un nombre a

s’escriu n√a
és un nombre b, que compleix que bn= a.

Les parts d’un radical són les següents:
Radical
Index
Radicand
Arrel

4√16 = 2, -2, ja que 24= 16 i (-2)4= 16
6√-256 = no existeix, ja que cap nombre elevat a exponent parell dona negatiu
5√243 = 3, ja que 35= 243 (no -3, ja que (-3)5= -243)
7√-1 = -1, ja que (-1)7= -1

Hi ha diferències quan l’index és parell o senar i quan el radicand és positiu o negatiu.

a>0 n imparell=1arrel positiva/n parell=1arrel positiva negativa.
a=0 n parell o imparell=1arrel el 0
a<0 n imparell=1arrel negtiva/n parell= no té arrels reals

Càlcul amb calculadora d'arrels n-essimes

Farem servir la tecla x1/y , trobem aquesta funció sobre la tecla xy i per que actui hem de pitjar primer shift i despres xy.

Exemple:
Si volem calcular 5

√-243 → 5 shift xy

- 2 4 3 = i obtindrem -3.

Atenció: A la calculadora, els radicals d’índex parell no ens donaran les dues arrels però nosaltres les hem de posar al resultat.

Exemple:
Si volem calcular 5√-243 → 5 shift xy- 2 4 3 = i obtindrem -3.

Atenció: A la calculadora, els radicals d’índex parell no ens donaran les dues arrels però nosaltres les hem de posar al resultat.

Simplificació de Radicals
n√am = am/n

Suma i resta de Radicals
c n√a + d n√a = (c+d) n√a
c n√a - d n√a = (c-d) n√a

Multiplicació i divisió de Radicals

n√am · n√ap= n√(am · ap)
n√am : n√ap= n√(am : ap)