Метод координат у просторі

Кут між прямою та площиноюОзначення 1. Кут між прямою та площиною – це кут між прямою та її проекцією на цю площину.Якщо в просторі задані напрямний вектор \vec{p}=\{l;m;n\} деякої прямої і рівняння деякої площини Ax+By+Cz+D=0, то кут між цими прямою і площиною можна знайти за формулами:\sin{\phi}=\dfrac{| A\cdot l+B\cdot m+C\cdot n|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}.\phi=\arcsin{\dfrac{| A\cdot l+B\cdot m+C\cdot n|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}}.

Взаємне розташування прямої і площиниНехай маємо пряму l з напрямним вектором \vec{p} і площину \alpha з нормальним вектором \vec{n}. Можливі такі випадки взаємного розміщення цієї прямої і площини у просторі:Пряма належить площині: l\in\alpha, \vec{p}\perp\vec{n} .Пряма і площина мають одну спільну точку, тобто перетинаються: l\cap\alpha=M – точка перетину.Пряма і площина не мають спільних точок: l\notin\alpha і \vec{p}\perp\vec{n} .

Відстань від точки до прямоїОзначення 1. Відстань від точки до прямої – це довжина найкоротшого вектора, проведеного до прямої з цієї точки. Оскільки таким вектором є перпендикуляр, опущений на пряму, то відстань рівна довжині цього перпендикуляра. (Якщо дана точка лежить на прямій, то зрозуміло, що відстань від цієї точки до даної прямої дорівнює 0 ).Якщо точка M_1=\{x_1;y_1;z_1 \} – лежить на прямій l з напрямним вектором \vec{p}=\{m;n;k\} , то відстань від точки M_0 \left(x_0,y_0,z_0 \right) до прямої l знаходять за формулоюd=\dfrac{|\vec{M_0M_1}\cdot \vec{p}|}{|\vec{p}|}.

Кут між прямимиОзначення 9.1. Як і на площині, у просторі кутом між прямими, що перетинаються називають менший з кутів, що утворився при перетині цих прямих. Якщо дві прямі паралельні або співпадають, то, природно вважати, що кут між ними дорівнює 0\degree . Кутом між мимобіжними прямими називають кут між прямими, які перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим.Означення 9.2. Якщо кут між прямими \phi=90 \degree , то такі прямі називають перпендикулярними.Кут між двома прямими у просторі вимірюється кутом між їхніми напрямними векторами.При цьому слід розуміти, що, вибравши на одній із прямих напрямний вектор, напрямлений в протилежну сторону, дістанемо другий кут, який доповнює перший до повного.Тому, якщо \frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{k_1} і \frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{k_2}  – задані дві прямі, то їхні напрямні вектори \vec{p_1}=\{m_1;n_1;k_1 \} і \vec{p_2}=\{m_2;n_2;k_2 \} , то кут між ними можна знайти, використовуючи наступні формули:\cos{\phi}=\dfrac{|m_1\cdot m_2+n_1\cdot n_2+k_1\cdot k_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+k_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+k_2^2}}.\phi=arccos{\dfrac{|m_1\cdot m_2+n_1\cdot n_2+k_1\cdot k_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+k_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+k_2^2}}}.

Взаємне розташування 2-х прямих у просторіНехай маємо дві прямі l_1 та l_2, а \vec{p_1}, \vec{p_2} – відповідні напрямні вектори. Можливі чотири випадки взаємного розміщення цих прямих у просторі:Прямі співпадають (накладаються одна на одну): l_1=l_2, \vec{p_1}\parallel\vec{p_2} .Прямі паралельні між собою: l_1\parallel l_2 , \vec{p_1}\parallel\vec{p_2} .Прямі перетинаються (тобто мають одну спільну точку): l_1\cap l_2=M – точка перетину цих прямих і \vec{p_1}\nparallel\vec{p_2} .Прямі не лежать в одній площині (мимобіжні прямі): l_1 і l_2 не перетинаються, і \vec{p_1}\nparallel\vec{p_2} .

Рівняння прямоїОзначення 1. Напрямним вектором прямої називається вектор, який лежить на цій прямій, або на паралельній до неї.Існують такі задання рівняння прямої:загальне рівняння прямої;канонічне рівняння прямої;рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки;параметричне рівняння прямої.

Загальне рівняння прямої в декартовій системі координат\begin{cases} A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0,\\ A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0, \end{cases} де A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0 і A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0 – задані рівняння площин.

Канонічне рівняння прямої\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n} ,де M\left(x_0;y_0;z_0 \right) – точка прямої, а \vec{p}\left(l;m;n \right) – напрямний вектор прямої.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки M_1 (x_1;y_1;z_1 ) і M_2 (x_2;y_2;z_2 ):\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{z-z_1}{z_2-z_1}.Насправді, це рівняння є різновидом канонічного рівняння прямої у випадку, коли \vec{p}=\left(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1 \right) , а M\left(x_1;y_1;z_1 \right) .

Параметричне рівняння прямої\begin{cases} x=x_0+lt,\\ y=y_0+mt, \\ z=z_0+nt, \end{cases} де M\left(x_0;y_0;z_0 \right) – точка прямої, а \vec{p}\left(l;m;n \right) – напрямний вектор прямої.

Афінна система координат і ПДСКРозглянемо як вводяться системи координат у просторі. Нехай маємо тривимірний простір P і нехай V – тривимірний векторний простір на полем \mathbb{R}.Означення 1.1. Афінним репером R у просторі називають упорядковану четвірку точок O, A_1, A_2, A_3, які не лежать на одній прямій, і записують R=\left(O,A_1,A_2,A_3 \right) .Оскільки точки O, A_1, A_2, A_3 не лежать в одній площині, то напрямлені відрізки OA_1, OA_2 і OA_3 визначають некомпланарні вектори \vec{OA_1}=\vec{e_1}, \vec{OA_2}=\vec{e_2}, \vec{OA_3}=\vec{e_3}, і тому трійка \left( \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right)  є базисом векторного простору V, тобто афінний репер R задає базис у просторі V. Навпаки, задавши деякий базис \left( \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right) векторного простору V і точку O у просторі P, знайдемо на ній точки A_1, A_2 і A_3 такі, що \vec{OA_1} є вектор \vec{e_1}, \vec{OA_2} – \vec{e_2}, а \vec{OA_3} – \vec{e_3}. Як результат матимемо упорядковану четвірку точок O, A_1, A_2, A_3, які не лежать на одній площині, тобто афінний репер \left( O, A_1, A_2, A_3 \right) . Таким чином, афінний репер R можна задати точкою O (початок системи координат) і трьома некомпланарними векторами \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} (координатні вектори). Записують R=\left(O, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right) . Пряма OA_1 , на якій додатний напрям визначає вектор \vec{e_1} називається віссю абсцис і позначається Ox, пряма OA_2, на якій додатний напрям визначає вектор \vec{e_2} називається віссю ординат і позначається Oy, а пряма OA_3, на якій додатний напрям визначає вектор \vec{e_3} називається віссю аплікат і позначається Oz. Всі три осі разом називають осями координат. Казатимемо, що в тривимірному просторі P задана афінна система координат Oxyz, як тільки задано афінний репер \left( O, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right).Нехай у просторі задано афінний репер \left(O, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right) і нехай M – довільна точка простору. Оскільки радіус-вектор \vec{OM} належить векторному простору V, для якого упорядкована трійка векторів \left(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right) є базисом, то існує єдина пара чисел \left(x,y\right) , які є координатами вектора \vec{OM} відносно базису \left(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right) , а отже має місце поданняOM=x\vec{e_1}+y\vec{e_2}+z\vec{e_3} .Означення 1.2. Афінними координатами точки M відносно репера \left(O, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right)  (в афінній системі координат \left(O, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right) називають координати x, y, z радіус-вектора \vec{OM} відносно базису \left(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right) . Коефіцієнт x останнього розкладу називають абсцисою, коефіцієнт y – ординатою, а коефіцієнт z – аплікатою точки M і записують M\left(x,y,z\right) .Означення 1.3. Афінну систему координат \left(O, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right) називають декартовою системою координат, якщо |\vec{e_1}|=|\vec{e_2}|=|\vec{e_3}|=1 (вектори базису є одиничними векторами), а декартову систему координат називають декартовою прямокутною системою координат, якщо вектори \vec{e_1}, \vec{e_2} і \vec{e_3} ортогональні.

Поділ відрізка у заданому відношенніНехай маємо дві точки A(x_1;y_1;z_1), B(x_2;y_2;z_2) і потрібно знайти точку M на відрізку AB, яка ділить його у відношенні \lambda=\frac{AM}{MB}\left( \lambda \neq -1 \right) . Координати точки M \left( x;y;z \right) шукаємо за формулами:\begin{cases} x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\\ y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda},\\ z=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda}; \end{cases}У випадку поділу відрізку навпіл \left( \lambda = 1 \right) отримаємо відомі формули:\begin{cases} x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\\ y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda},\\ z=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda}; \end{cases}Зауваження 2.1. Якщо \lambda>0 , то точка M  лежить між точками A  та B, а якщо ж \lambda<0, то поділ відрізка виконується зовнішнім чином, тобто точка M лежить на продовженні відрізка AB .

Рівняння площиниОзначення 1. Напрямними векторами площини називаються два неколінеарні вектори, які лежать у цій площині.Означення 2. Нормальний вектор площини – це будь-який ненульовий вектор, що лежить на прямій перпендикулярній до даної площини.Існують такі задання рівняння прямої:загальне рівняння площини;рівняння площини у відрізках;рівняння в'язки площин;рівняння площини, що проходить через 3 дані точки, що не лежать на одній прямій;нормальне рівняння площини;параметричне рівняння площини.Розглянемо детально кожне з рівнянь, а також спробуємо записати їх у векторному вигляді.

Загальне рівняння площини в декартовій системі координатAx+By+Cz+D=0 , A^2+B^2+C^2 \neq 0при цьому A, B, C, D – сталі, а вектор з координатами \left( A,B,C \right) є нормальним вектором площини.Якщо у цьому рівнянні деякі із коефіцієнтів рівні нулю, то такі рівняння називають неповними рівняннями площини.У векторній формі:\left( r,N \right) + D = 0де вектор N=\left( A,B,C \right) перпендикулярний до площини (нормальний вектор).

Рівняння площини у відрізкахЯкщо площина перетинає осі Ox, Oy і Oz в точках з координатами \left( a,0,0 \right), \left( 0,b,0 \right) і \left( 0,0,c \right) відповідно, то вона може бути записана у вигляді\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.

Рівняння площини, що проходить через точку, перпендикулярно нормальному вектору (рівняння в’язки площин)Щоб скласти рівняння площини, за координатами точки площини M \left( x_0,y_0,z_0 \right) і нормального вектора \vec{n}=\left( A;B;C \right) площини можна використати наступну формулу:A(x-x_0 )+B(y-y_0 )+C(z-z_0 )=0.У векторній формі:\left(r-r_0,\vec{n}\right)=0 \left( \vec{n} \neq 0 \right),де r_0 – радіус-вектор деякої фіксованої точки площини, а \vec{n}=\left( A;B;C \right) – нормальний вектор.

Рівняння площини, що проходить через три точки, які не лежать на одній прямій\begin{vmatrix} x-x_0&y-y_0&z-z_0\\ x_1-x_0&y_1-y_0&z_1-z_0\\ x_2-x_0&y_2-y_0&z_2-z_0 \end{vmatrix}=0,тут M \left( x,y,z \right) , M_0 \left( x_0,y_0,z_0 \right) , M_1 \left( x_1,y_1,z_1 \right) і M_2 \left( x_2,y_2,z_2 \right) – точки площини.Рівняння площини, що проходить через 3 точки з відповідними радіус-векторами r_0, r_1 та r_2 можна записати у векторному вигляді:(r-r_0,r_1-r_0,r_2-r_0 )=0.

Нормальне рівняння площиниx \cos{\alpha}+y \cos{\beta}+z \cos{\gamma}-p=0,де \left(\cos{\alpha}, \cos{\beta}, \cos{\gamma} \right)  – координати одиничного нормального вектора, який опущено із початку координат на цю площину, \alpha, \beta, \gamma – кути, які утворює цей вектор із відповідними координатними осями, а p – довжина перпендикуляра, проведеного із початку координат до цієї площини.У векторній формі: \left( r, N^0 \right)=0,де N^0 – одиничний нормальний вектор.

Параметричне рівняння площини\begin{cases} x=x_0+\alpha_1 u+\alpha_2 v,\\ y=y_0+\beta_1 u+\beta_2 v,\\ z z=z_0+\gamma_1 u+\gamma_2 v. \end{cases} Тут \left( x_0,y_0,z_0 \right) – деяка точка площини, \left( \alpha_1,\beta_1,\gamma_1 \right) і \left( \alpha_2,\beta_2,\gamma_2 \right) – координати напрямних векторів площини, u, v – параметри. У векторній формі:r=r_0+au+bv, \left( \left[a,b\right]\neq0 \right),де a, b – напрямні вектори площини, r_0 – радіус-вектор деякої фіксованої точки площини. Це рівняння також можна записати у вигляді\left(r-r_0,a,b \right)=0. Тобто для того щоб вектор r був радіус-вектором деякої точки площини необхідно, щоб вектори r-r_0 , a і b лежали в одній площині, тобто їх мішаний добуток був рівний нулю.

Взаємне розташування площин у просторіІснують різноманітні розташування площин у просторі, залежно від їх кількості. Розглянемо дане питання на прикладі двох або трьох площин.

Взаємне розташування 2-х площин у просторіВідомо, що якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій. Звідси випливає, що можливі три випадки розміщення двох площин в просторі:Нехай дано дві площини \alpha і \beta. \vec{n_1} , \vec{n_2} – відповідні нормальні вектори цих площин. Тоді можливі такі випадки розміщення двох площин у просторі:Площини співпадають: \alpha=\beta , \vec{n_1}\parallel\vec{n_2} .Площини не мають спільних точок (паралельні): \alpha\parallel\beta, \vec{n_1}\parallel\vec{n_2} .Площини перетинаються по одній спільній прямій. \alpha\cap\beta=l – пряма їх перетину. Тоді \vec{n_1}\nparallel\vec{n_2} .

Взаємне розташування 3-х площин у просторіНехай дано три площини \alpha, \beta, \gamma . \vec{n_1} , \vec{n_2} , \vec{n_3} – відповідні нормальні вектори цих площин. Тоді можливі такі випадки розміщення цих площин у просторі:Всі три площини співпадають: \alpha=\beta=\gamma . Відповідно \vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\parallel\vec{n_3} .Дві площини співпадають, а третя їм паралельна, наприклад: \alpha\parallel\beta=\gamma  і в цьому випадку \vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\parallel\vec{n_3} .Дві площини співпадають, а третя їх перетинає, наприклад: \alpha=\beta\cap\gamma=l – пряма перетину. Тут \vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\nparallel\vec{n_3} .Всі три площини паралельні між собою: \alpha\parallel\beta\parallel\gamma . Тоді \vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\parallel\vec{n_3} .Дві площини паралельні, а третя їх перетинає, наприклад: \alpha\parallel\beta\nparallel\gamma. В цьому випадку \alpha\cap\gamma=l_1 – пряма перетину площин \alpha і \gamma, \beta\cap\gamma=l_2 – пряма перетину площин \beta і \gamma і, як відомо з курсу геометрії, l_1\parallel l_2. Нормальні вектори \vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\nparallel\vec{n_3} .Всі три площини перетинаються по одній прямій. \alpha\cap\beta\cap\gamma=l – пряма перетину і тоді: \vec{n_1}\nparallel\vec{n_2}\nparallel\vec{n_3}\nparallel\vec{n_1} , але всі три вектори \vec{n_1} , \vec{n_2} і \vec{n_3} лежать в одній площині.Кожна пара площин перетинається по своїй прямій, утворюючи трикутну призму. \alpha\cap\beta=l_1 – пряма перетину площин \alpha і \beta , \beta\cap\gamma=l_2 – пряма перетину площин \beta і \gamma, а \gamma\cap\alpha=l_3 – пряма перетину площин \gamma і \alpha. Тоді відповідно l_1\parallel l_2\parallel l_3. Зрозуміло, що \vec{n_1}\nparallel\vec{n_2}\nparallel\vec{n_3}\nparallel\vec{n_1} , але всі три вектори \vec{n_1}, \vec{n_2} і \vec{n_3} лежать в одній площині.Всі три площини перетинаються в одній точці. Тобто \alpha\cap\beta\cap\gamma=M – точка перетину всіх трьох площин. Нормальні вектори цих площин у такому випадку некомпланарні.

Двогранний кут між площинамиОзначення 1. Двогранним кутом між площинами, що перетинаються називають кут між прямими, проведеними в цих площинах перпендикулярно до лінії їх перетину. (Якщо дві площини паралельні, то, природно вважати, що кут між ними дорівнює 0 \degree).Означення 2. Якщо кут між площинами \phi=90\degree, то такі площини називають перпендикулярними.Двогранний кут між площинами дорівнює куту утвореному нормальними векторами цих площин.Тому, якщо A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0 і A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0 – задані площини, то кут між ними можна знайти, використовуючи наступні формули:\cos{\phi}=\dfrac{|A_1\cdot A_2+B_1\cdot B_2+C_1\cdot C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}.\phi=\arccos{\dfrac{|A_1\cdot A_2+B_1\cdot B_2+C_1\cdot C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}}.

Відстань від точки до площиниОзначення 1. Відстань від точки до площини – це довжина найкоротшого вектора, проведеного до площини з цієї точки. Оскільки таким вектором є перпендикуляр, опущений на площину, то відстань рівна довжині цього перпендикуляра. (Якщо дана точка лежить на площині, то зрозуміло, що відстань від цієї точки до даної площини дорівнює 0).Відстань від точки до площини знаходять за формулою:d=\dfrac{| Ax_0+By_0+Cz_0+D |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},де M\left( x,y,z \right) – точка простору, Ax+By+Cz+D=0 – рівняння даної площини.