Aplicación de la derivada al análisis de funciones

La introducción de la derivación nos permite hacer cálculos aproximados más precisos para las funciones derivables, siempre que se escoja Deltax suficientemente pequeño y se utilice la siguiente fórmula básica.

f(x0+Deltax) ≈ f(x0)+ Deltax.f ‘(x0)
Ejemplo
Calcula aproximadamente Raíz
Resolución

Para aplicar la fórmula debemos encontrar un x0 próximo a 38 en el cual se pueda calcular con exactitud Raíz; en este caso x0=36 conviene.

Entonces Raiz=Raiz 2 , x0=36, Deltax=2

Entonces la expresión f(x0+Deltax) ≈ f(x0)+ Deltax.f ‘(x0) adquiere la forma Raiz=Raiz≈Raiz
En la tabla de cuadrados la Raíz=6,16; el error es menor que 0,01.

Si f es una función derivable en el intervalo (a;b) y para cada x con a<x<b se cumple f ‘(x) >0, entonces la función f es estrictamente creciente en el intervalo dado.
Si f es una función derivable en el intervalo (a;b) y para cada x con a<x<b se cumple f ‘(x) < 0, entonces la función f es estrictamente decreciente en el intervalo dado.
Ejemplo:
Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función : y=¹/3 x3 + x2 + 1

Resolución
Como y‘=x2+2x=x(x+2)
Se analiza el signo de la expresión x(x+2)
Signos.jpg
y‘ es positiva si x<-2 o si x>0

y‘ es negativa si -2<x<0

Una función es cóncava si fijado un vector unitario en el semieje positivo OY, dicho vector está en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a la función) que la función. En caso contrario (distintos semiplanos) se dice convexa.

Condiciones analíticas de concavidad y convexidad

Si f “(x) >0 en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es cóncava en el intervalo (a, b).
Si f “(x) < 0 en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es convexa en el intervalo (a, b).
Ejemplo: f(x)=x3-3x2+6x-6
f ‘(x)=3x2-6x+6
f “(x)=6x-6

6x-6 >0 ⇒ x>1 cóncova (1;Infinito)
6x-6 <0 ⇒ x<1 convexa (-Infinito;1)

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro.
Teorema
Sea y= f(x) la ecuación de una función.

Si f “(a) = 0 o f “(a) no existe, y la derivada f “(x) cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión.
Ejemplo: f(x)=x3-3x2+6x-6
f ‘(x)=3x2-6x+6
f “(x)=6x-6

6x-6 =0 ⇒ x=1
El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada segunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava).

Teorema
Para que una función derivable en x0 tenga un extremo local en x0 es necesario que se cumpla f ‘(x0)=0.
Como el crecimiento está determinado por el signo de la derivada tenemos:

x0 es un punto de

Máximo local si f ‘(x) pasa de positiva a negativa.

Mínimo local si f ‘(x) pasa de negativa a positiva.

Ejemplo

Halla los extremos locales de la función : y=x3 -12x-4

Resolución

Como y‘= 3x2-12= 3(x2-4)=0

Los ceros de y‘ son x=2 y x=-2. Al analizar el signo de y‘ encontramos

+ y -

y‘ > 0 en (-Infinito;-2) y (2;+Infinito)

y‘< 0 en (-2; 2), luego en x=-2 y‘ pasa de valores positivos a negativos, se trata de un máximo que es ymax=f(-2)=12.

En x=2 y‘ pasa de valores negativos a positivos, se trata de un máximo que es ymin=f(2)=-20.

Teorema de la segunda derivada
Sea f una función dos veces derivable en x0.

Si f ‘(x0)=0 y f ‘‘(x0) Distinto1.jpg0 entonces f tiene un extremo local en x0

Si f “(x0) >0 el extremo es un mínimo local.

Si f “(x0) <0 el extremo es un máximo local.

Ejemplo:

Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos de la función indicada:

f(x) = x3 – 6x2 – 15x

Solución:

f´(x) = 3 x2 – 12 x – 15 = 0 ⇒ Puntos críticos: x1 = -1 y x2 = 5

f´´(x) = 6x – 12 ⇒ f ´´(-1) = -18 < 0 ⇒ en x1 = -1 se tiene un máximo de f.

⇒ f´´(5) = 18 > 0 ⇒ en x2 = 5 se tiene in mínimo de f.