teoría de las derivadas

Las derivadas

Las derivadas Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente.

La tasa de cambio promedio

Es una medida de cuánto cambia la función por unidad, en promedio, en ese intervalo.
Se deriva de la pendiente de la línea recta que conecta los extremos del intervalo en la gráfica de la función.

Las líneas secantes se encuentran conectando dos puntos en una curva. La pendiente de la recta secante entre dos puntos representa la tasa de cambio promedio en ese intervalo.

ejemplo:
g(1)=13−9⋅1=−8g
(6)=63−9⋅6=162
(g(6)-g(1))/(6-1)
(162-(-8))/5
=34

Tasa de cambio instantánea

La tasa de cambio de una función g en un punto x, llamada la razón o tasa instantánea de cambio en x es el límite de la tasa promedio de variación de g a lo largo de intervalos cada vez más pequeños alrededor de x.

Como sabemos la variación en la tasa es un cociente de la diferencia, la tasa instantánea de cambio será el límite de esos cocientes.

La tasa de cambio instantánea es popularmente conocida por el nombre de derivada.

No es posible calcular la derivada de una función en algún instante determinado, por tanto la derivada de una función se calcula sobre un intervalo, aunque este intervalo sea muy pequeño.

Entonces el cálculo de la derivada de una función también se puede hacer mediante el cálculo de la tasa promedio de cambio en intervalos más cortos.

reglas de derivacion

Suma D f + g = f ' + g '

Resta D f - g = f ' - g '

Multiplicación D f · g = f ' g + f · g '

División D f g = f ' g - f · g ' g 2

Las reglas de derivación son las derivadas de la suma, resta, producto y cociente de funciones

reglas de la cadena

La regla de la cadena es una norma de la derivación que nos dice que, teniendo una variable y que depende de u, y si esta depende a la variable x, entonces la razón de cambio de y respecto a x puede estimarse como el producto de la derivada de y con respecto a u por la derivada de u respecto a x.