av ivica matic för 1 år sedan
112
Mer av detta
Prioritetni problem nastave matematike:
RAZVIJANJE STVARALAČKOG MIŠLJENJA I STVARALAČKIH SPOSOBNOSTI
Znanstvena disciplina nastala proučavajnem brojeva i geometrijskih odnosa. Ime su joj dali Pitagorejci. Dolazi do naučeno, predmet učenja, znanje, znanost.
način djelovanja sistema na nekom praktičnom ili teoretskom području
pristupanje pojavama koje se proučavaju
načini istraživanja prirodnih pojava
dio pedagogije koji govori o pravilima, metodama predavanja
svi načini svrsishodnog provođenja nekog posla
proučavanje djelova cjeline. Donošenje stavova, sudova, zaključaka o djelovima.
8. Načelo motivacije
u literaturi nailazimo na različite podjele i različito tumačenje motiva.
motiv stvaralštva
samostalno pisanje domaće zadaće, u svakom trenutku kada tražite da đaci sami nešto pokažu potičete kreativnost.
potreba za ostvarivanjem ljudskih potencijala.
motiv radoznalosti
pitanjima koje učenik postavlja nastavnk treba pristupiti sa uvažavanjem, a ne sas mišljenjem kako učenik postavlja pitanje u zloj namjeri.
ukoliko nastavnik nezna odgovor na pitanje treba to reći učeniku i pokazati mu način kako će do odgovora doći.
potreba za spoznajama u najširem smislu je jedan od osnovnih čovjekovih potreba. Spoznavanjem matematičkog gradiva učenik spoznaje i samoga sebe svoje sposobnosti, svoje interese.
motiv sigurnosti
Potrebno je imati na umu da neki učenici misle da su predodređeni za slabe ocjene pa su sigurni da nemogu bolje.
"Ne mogu ja to dobro rješiti pa ću predati prazan papir da se nastavnik ne smije mojim glupostima."
svaki učenik ima potrebu za slobodom od straha, za slobodom od krivnje. Ovaj motiv počiva na vezi slobode i ograničenja. Učenik mora znati da prilikom uvežbavanja neće biti kažnjen lošom ocjenom i ako problem pogrešno riješi.
motiv borbenosti
Zajedničkom procjenom nečijeg uratka ostvaruje se veza gregoralnog motiva, motiva afirmacije i motiva borbenosti. Time se upotpunjuje, bolje ostvaruje, matematičko obrazovanje pojedinog učenika, ali i svih učenika u razrednom odjelu.
učenik često u borbi z avlastito rješenje prolazi već izložena rješenja problema. Treba ga potaknuti da sam uoči kako otkriva već otkriveno, a ne ga grubo prekinuti.
ovo je dobro za razvijanje matematičkog jezika.
učenike ne treba navikavati da se zadovoljavaju prvim rješenjem problema na koje naiđu.
Temelji se na potrebi za obranom istine i pravde, za kritičnošću i samokritičnošću.
motiv afirmacije.
preporuke
ne smije se ismijavati pogrešne odgovore učenika.
potrebno je poticati afirmaciju slabijih učenika.
nije dobro poticati afirmaciju uvjek istih učenika.
afirmacija se u matematici ostvaruje najčešće kroz natjecanja (ne samo kroz natjecajna organizirana az bolje učenike nego i kroz natjecanja u razrednom odjelu).
takva "zdrava" natjecanja potiče nastavnik na svakom satu pitanjima: tko zna, zna li netko to napraviti, izreci drugačije, tko zna još nešto o tome, izreci to potunije,...
Poteba za postizanjem uspjeha društveno je uvjetovana. Uz nju se veže potreba za samopotvrđivanjem, za dominacijom i za samoakutalizacijom.
afirmirati se - učvrstiti se, steći poznatost (Klaić)
Postignuće nekog uspjeha ili položaja, Klaić
gregoralni motiv
sudjelovanje svih učenika razrednog odjela.
grupni rad (pri radu u školi ili pri realizaciji zajedničkog projekta kod kuće
izrada zajedničkog kolaža ili panoa.
svjestan svoje uloge voditelja skupine nastavnik mora voditi računa o svom ponašanju, o pristupu učenicimai gradivu.
ako nastavnik započinje obradu gradiva rječima: "Ovo je gradivo najteže umatematici, a i dosadno je...", uzalud je očekivati da će njegovi učenici prema tome imati pozitivan odnos.
ako se nastavnik grubo šali na račun učenika može očekivati da će mu se to vratiti.
ako nastavnik nezna rasporediti gradivo na ploči ne može očekivati od učenika da to učine u bilježnici.
ako nastvanik inzistira na geometrijskom priboru, a u svome radu nikada ne koristi pribor to će kod učenika izazvati negativan odnos prema priboru.
ako nastavnik pogrešno upotrebljava matematiočke termine to će činiti i njegovi učenici.
učenici od svog nastavnika uče pravilnu upotrebu terminologije (matematičke) i pravilnu upotrebu geometrijskog pribora.
učenici se često identificiraju s nastavnikom radi ostvrenja potrebe za vezanošću i pripadanjem.
U smislu ovog motiva nastavnik je voditelj te skupine i on je uzor pripadnicima te skupine.
postoji potreba za pripadanjem, za prihvaćenošću, za ljubavlju.
svaki učenik želi biti prihvaćen u svom školskom okruženju, kako od učenika tako i od strane nastavnika.
gregorizam - osobina i sklonost pojedinih vrsta da žive u skupinama
B. Klaić: "Riječnik stranih rječi"
lat. gregis - stado, krdo, jato
Svaki učenik tjekom nastavnog procesa želi zadovoljiti neke svoje potrebe. Nastavnik koji je svjestan tih potreba može ih iskoristiti koako bi odgovarajućom motivacijom naveo učenika na aktivno sudjelovanje u radu.
Mnoga istraživanja su pokazala da je slaba motivacija jedan od glavnih faktora neuspjeha učenika.
7. Načelo postojanja znanja
Kako bi se ostavrilo ovo načelo učitelj tjekom prezentacije novog gradiva mora voditi računa o sljedećim ciljevima.
u ostvarivanju ciljeva mogu nam pomoći sljedeća saznanja.
bolje se pamte povezani sadržaji. Bolje se pamte sadržaji koji se više puta ponavljaju, ali tako da svako sljedeće ponavljanje zahtjeva veću razinu usvojenosti sadržaja (učenje množenja).
3 situacije u kojima je ponavljanje najkorisnije
ponavljanje putam domaće zadaće.
u ostvarivanju načela postojanja znanja veliku ulogu ima kvalitatna domaća zadaća.
ponavljanje koncepta na kraju nastave
ponavljanje primarnih koncepata u odnosu na novi koncept.
bolje se pamte sadržaji ako su podjeljeni na manje jedinice. Zbog toga je i informaciju koju učenici trebaju zapamtiti potrebno podjeliti na manje djelove.
učenici bolje pamte sadržaj ako i sami sudjeluju u njegovoj obradi.
učenici lakše pamte informaciju koja je prezentirana na multisenzorni način. Kada god je to moguće matematičke činjenice je potrebno prezentirati kroz sva 3 modela - vizualni, auditivni i kinestetički.
učenik će lakše zapamtiti informaciju koja za njeg ima neko posebno značenje, kada on razumije zašto je treba zapamtiti i kako će mu to u buduće koristiti. Zbog toga je pri prezentaciji novog matematičkog gradiva poželjno odmah objasniti njegovo značenje i korist.
pokrenuti mehanizme reprodukcije zapamćene informacije.
osigurati prijenos informacije iz kratkoročnog u dogoročno pamćenje.
uvjeriti se da je informacija ušla u učenikovo kratkotrajno pamćenje.
osnovni problem je pamćenje.
Kako ga poboljšati?
razlozi zbog kojih učenik nije zapamtio neki sadržaj.
učenik nije ovladao određenim metodama reproduciranja informacija ili učitelj nije primjenio odgovarajuće načine poticanja.
primljena informacija nije prešla iz kratkoročnog u dugoročno pamćenje. Razlozi: odjednom je izložen velik broj novih informacija, nova informacija je izložena samo jednom, učenik ne razumije temeljito koncept koji bi trebao poduprijeti informaciju.
nije prihvatio informaciju jer nije bio pažljiv ili je način prezentacije bio loš.
Novo iskustvo neće ostaviti nikakvog traga ako je pamćenje loše. Osmišljavanje i primjena novog iskustva događa se zato što ga povezujemo sa onim što već znamo, odnosno s onim s onim što smo već primili u svoje pamćenje.
pamćenje je sposobnost pohranjivanja i čuvanja informacija koje se kasnije mogu reproducirati s velikom preciznošću i povezati sa novopristiglom informacijom.
Problem nije u pamćenju nego u nedovoljnoj primjeni pamćenja u učenju matematike.
Isti učenici s lakoćom pamte velik broj podataka o sportu.
mnogi učenici kažu da je matematika problem zato što ne mogu zapamtiti određene činjenice i formule.
počiva na usvojenosti obrađenih sadržaja te na ponavljanju obrađenog gradiva radi usustavljivanja i zapamćivanja.
6. Načelo individualizacije
budući da učenici jednog razreda imaju različite matematičke osobnosti pri poučavanju matematike treba koristiti što više različitih didaktičkih materijalai što više različitih metoda poučavajna.
Matematička osobnost profesora i autora udžbenika iz matematike često određuje kako će se nešto predočiti, tj. određuje izbor didaktičkih nastavničkih materijala i način podučavanja.
ono se ostvaruje zadavanjem različitih individualnih zadataka za samostalan rad učenika.
o individualnim sposobnostima se mora voditi računa ne samo pri zadavanju zadataka nego i pri obradi gradiva.
svaki zadatak se može zadati na više načina te ga tako prilagoditi prema razini usvojenih znanja i prema sposobnostima pojedinog đaka.
Bit načela individualizacije (odnos načela individualnog postavljanja prema učenicima) je u prilagođavanju nastave razini usvojenog sadržaja i sposobnostima pojedinih učenika
Što je individualizacija?
izdvajanje jedne ličnosti ili osobe prema njenim osobnim svojstvima; uzimanje u obzir osobitosti svake jedinice, pošto se razmotre sve karakteristike predmeta ili pojava; pojedinačno razmatranje; potanko navođenje; odvajanje po posebnim karakteristikama. (B. Klaić, "Rječnik stranih rječi")
pojedniac - različito rješavanje zadataka.
dio samostalnog rada.
odnos prema pojedinom učeniku.
5. Načelo zornosti
vrste zornost
simbolička zornost
simboli
formule
likovna zornost
ono što smatramo likovnim prikazom
prirodna zornost
ono što nas okružuje
kod rada sa starijim učenicima najprije se postavlja problem, nekada se daje povjest njegova rješenja uz suvremeno rješenje, a nakon toga se prelazi na praktičan rad.
zornost se pri tome realizira kao ilustracija rješenja.
u mlađih učenika zornost je uporište za formiranje pojma.
osigorava vezu između konkretnog i apstraktnog, učestvuje u razvitku apstraktnog mišljenja, često je njegovo uporište.
4. Načelo pristupačnosti
iz svega ranije navedenog može se zaključiti da načelo pristupačnosti u nastavi matematike može biti ostvareno:
individualnim pristupom pojedinim učenicima
isticanjem veze matematike sa stvarnim životom
konkretizacijom matematičkih sadržaja
primjenom empirijskih zaključivanja (iskustvo i sva znanja)
primjenom zaključivanja indukcijom
primjenom zornih očiglednih sredstava
Neovisno o dobi učenika možemo uočiti niz rdugih čimbenika koji utječu na proces učenja matematike.
5. stupnjevi poznavanja matematike.
Ako se preskoči nešto od ovoga mogu nastati problemi.
komunikacijski
najbolji način konačnog ovlađivanja nekim matematičkim gradivom je dodjeljivanje učeniku uloge podučavatelja
komunikacijski stupanj poznavanja matematike razvija se putem usmenih i pismenih pitanja i grupnim radom (učenjem u parovima)
na ovom stupnju učenik je u stanju rječima obrazložiti svoje postupke i podučiti druge učenike
praktična primjena znanja
izvanastavni stupanj
učenik može primjeniti zannja naučena na nastavi matematike primjeniti u stvarnim životnim situacijama.
inradisciplinarni stupanj
Učenik je u stanju primjeniti matematička znanja kojima je ovladao na nastavi matematike u drugim školskim predmetima (zemljopis, povijest...)
intramatematički stupanj
učenik može primjeniti znanja iz prethodnog područja u naredno područje
Npr. Učenik zna da je 1/2=0,5.
apstraktni
Ako nastavnik ne provede učenika kroz sve stupnjeve poznavanja matematike koji prethode apstraktnom stupnju često dolazi do nazadovanja učenika zbog previše apstraktne prirode nastave
na ovoj razini je pisana većina udžbenika
gotovo sve aktivnosti nastave matematike u školi se odvijaju na apstrktnom stupnju
slika se prevodi u jezik simbola i formula
slikoviti
Nakon modeliranja pomoću stvarnih objekata učenik ga treba doživjeti pomoću slike na papiru. Ovaj stupanj igra ulogu povezivanja konkretnog i simboličkog shvaćanja koncepta.
konkretni
Nakon što je povezao intuitivno informaciju sa svojim ranijim znanjima učenik treba konkretne primjere.
intuitivni
Na ovom stupnju učenik stvara veze između onogo što već zan, što je naučio ranije i onoga što uči sada.
kad čujemo nešto novo to povezujemo sa onim što već znamo
4. Matematički jezik
U našim školama su uglavnom forsira proceduralna komponenta, a to nije dovoljno, pa nije čudo da postoje problemi u prevođenju
Koji je najmanji zajednički višekratnik broja 4 i 6?
Postavimo li ovo pitanje učenicima 6. razreda mnogi će odgovoriti (15-20%) da je to broj 2.
Taj pojam nije nov tim učenicima.
"najmanji" "zajednički" "višekratnik"
prvo čuju najmanji pa traže najmanji broj povezan sa 4 i 6, a to je 2.
Radi se o jezičnom problemu.
Tražimo najmanji zajednički višekratnik. Učitelj im je najprije objesnio postupak, a onda rekao naziv. Oni su povezali postupak i naziv i ostalo ih ne zanima.
skoro svak amatematička ideja, osim najjednostavnijih matematičkih činjenica ima u sebi 3 komponente
proceduralna računski postupak koji se primjenjuje u odnosu na neki koncept
konceptualna matematička ideja ili matematička vizija pojma
lingivistička matematički vokabular, matematička sintaksa, pravila prevođenja
3. predmatematičke vještine
najvažnije predmatematičke i pomoćne vještine
induktivno mišljenje
deduktivno mišljenje
procjenjivanje
vizualno grupiranje predmeta
vizualizacija
orjentoranje i organiziranje u prostoru
slijeđenje niza uputa od više koraka
nizanje predmeta i održavanje zadanog redosljeda
uspoređiva nje i ujednačavanje predmeta i skupova
razvrstavanje podataka i predmeta
razvijenost određanih matematičkih vještina može nam ukazati na spremnost učenika za usvajanje matematičkih koncepata.
2. matematička osobnost učenika
Sil učenja i pristupa matematičkoj problematici nazivamo matematičkom osobnošću učenika.
Taj stil određuje razumjevanje, usvajanje i primjenu matematike.
Istraživanja pokazuju da postoji čitav spektar matematičkih osobnosti. Jedna krajnost su oni koji matematici pristupaju metodički (algebarski), a druga oni koji joj pristupaju geometrijski. Ti tipovi nisu baš dobri pa se uvodi pojam kvantitativna i kvalitativna matematička osobnost.
Većina ljudi je kombinacija ovih matematičkih osobnosti pri čemu jedan tip iak u određenoj mjeri dominira. Za učenje matematike potreban su oba pristupa: kvantitativni i kvalitativni. Da bi se postigao visok stupanj razumjevanja i pprijene matematike potrebni su oba.
Kvalitativna matematička osobnost
nedostatak: ne vježbaju dosta, a i kada vježbaju nije sistematično i puno griješi, zbog toga ne automatiziraju radnje koje im trebaju. (npr. ne znaju djeliti, množiti...)
matematičkim problemima pristupa skoro pa intuitivno, imaju problema kada treba obraditi određeni algoritam
kada pristupa rješavanju zadataka zadanih rječima, formulira odgovarajući sporedni problem s malim brojevima, što mu pomaže u otkrivanju postupka rješavanja, nakon otkrivanja postupka vraća se na polazni zadatak
preferira takvu metodiku poučavanja u kojoj se koncepti međusobno povezuju, a podučavatelj koristi induktivan način poučavanja
u učenju aritmetike preferira rastavljanje radnji u skupine i modele brojeva
uči lakše putem vizualno prostornog, kvakitativnog didaktičkog materijala. (npr. konstruktivne igre, posteri, plastelin)
u zadatku prvo određuju neverbalnu, nejezičnu informaciju
idu od cjeline prema djelovima
obrađuju informaciju vizualno ne verbalno
Kvantitativna matematička osobnost
to je tip učenika koji traži recepte
iste zadatke uvjek rješavaju na isti način, zbog toga su uspješni u aritmetici, djelomično su uspješni u algebri, a u geometriji samo u zadatcima koji se zasnivaju na poučcima. Dosta vježbaju.
rješava svaki pojedini dio i na kraju ujedinjuju rješenje
rastavlja zadatak na djelove
najprije određuju tip zadatka
kada pristupa rješavanju verbalnog dijela problemskog zadatka trAŽI POZNATE STRATEGIJE I FORMULE i svrstava zadatak u određenu kategoriju.
preferira deduktivnu i sistematično organiziranu metodologiju poučavanja
pri učenju aritmetike preferira strategija dodavanja i brojenja
uči lakše putem kvantitativnog didaktičkog materijala (broji na prste)
u zadatku prvo obrađuje verbalnu lingvističku informaciju
obrađuje informacije postupno, metodično, korak po korak, dio po dio
1. stupanj kognitivnog razvoja.
kognitivni - spoznajni
Kada pristupa rješavanju zadataka učenik bira određene kognitivne strategije. U strategijama koje bira očitava se njegova kognitivna sposobnost kao i razvijemost matematičkog mišljenja.
Uvjek kada postoji razlika između stupnja kognitivne složenosti matematičkih koncepata i stupnja kognitivnog razvoja učenika, učenik će imati teškoće u učenju matematike.
odredite čimbenike koji utječu na proces učenja matematike
logičko povezivanje
kontinuitet u učenju
motivacija, afiniteti, sklonost
psihička konstitucija učenika (posebno koncentracija)
socijalni čimbenici
uočavanje učenika koji teže usvajaju gradivo i stvaranje mogućnosti da ga i oni usvoje
uočavanje nadarenih učenika i stvaranje mogućnosti da uče više
sposobnost učitelja da prenese gradivo
inteligencija
motivacija za učenje
Ostvarenje načela pristupačnosti u nastavi matematike očituje se najbolje u oblikovanju plana i programa. Uzrast učenika bitno utječe na razinu složenosti matematičkog sadržaja i posebno na obradu tih sadržaja.
3. Načelo postupnosti povezanosti i sistematičnosti
Usustavljanje znanja o paralelogramu. Postupak formiranja pojma paralelogram.
Forimranje pojma
Među uočenim svojstvima izdvojimo bitno svojstvo i onda pokušavamo dati definiciju.
Jedna glasi:
Paralelogram je četverokut kojem su nasuprotne stranice paralelne.
Predodžba o pojmu. U ovom koraku profesor traži da učenici navedu svojstva paralelograma.
očekivani odgovori
kutovi uz istu stranicu su suplementarni
nasuprotni kutovi su sukladni
Nasuprotne stranice su sukladne
Nasuprotne stranice su paralelne
dobiveni odgovori
dijagonale se raspolavljaju
nasuprotni kutevi su mu sukladni
nasuprotne stranice su mu paralelne
,
Promatranje i opažanje
Zajednička djelatnost profesora i učenika započinje promatranjem modela četverokuta od papira, drveta žice.Učenici uočavaju neka svojstva modela i učitelj ih upoznaje sa činjenicom da su B, C, E i F paralelogrami.
počiva na
Obradi kružnice opisane trokutu prethodi obrada simetrale dužine te isticanje svojstava te simetrale.
Obradi kružnice upisane trokutu prethodi obrada simetrale kuta uz isticanje svojstava te simetrale.
Radi potpunog formiranja matematičkog pojma uputno je u nastavu matematike uključiti sastavljanje logičko - strukturnih shema.
Najprije treba obraditi lakše, a zatim teže gradivo.
Najprije treba obraditi jednostavnije, a zatim složenije gradivo.
Pri obradi pojedinog matematičkog gradiva treba poticati na analiziranje i usustavljanje, kao i na poopćavanje naučenih činjenica i tvrdnji.
Pri obradi pojedinog matematičkog gradiva treba potaknuti učenike na uočavanje bitnih obilježja tog gradiva.
Upoznavanje, obrada novog nastavnog gradiva treba se zasnivati na već prije obrađenom grdivu.
2. Načelo aktivnosti i samostalnosti
Često govorimo o načelu aktivnosti samostalnosti i svjesnosti.
Poticanje učenika na aktivnost i samostalnost dovodi do različitih rješenja istog zadatka.
Svjesno usvajanje matematičkih sadržaja pomaže uklanjanju formalizma u znanju učenika
primjeri formalno usvojenog znanja
Učenik računa površinu školskog igrališta (pravilno primjenjuje formulu za površinu pravokutnika) i kao ispravno rješenje dobije rezulat od 5 cm
Učenik određuje visinu brda i dobije za rješenje da je visina brda 2mm
Učenik točno formulira definiciju lograitma ali nezna reći koliko je log(2)8
često uočene vrste formalizma
učenik ne vidi vezu matematičkih sadržaja s činjenicama stvarnosti.
učenik reproducira definicije i poučke, ali ne shvača njihov smisao
sve ispravne načine rješavanja treba prihvatiti radi razvijanja aktivnosti, samostalnosti i svjesnosti u radu učenika.
Počiva na
stvaranju situacija koje potiču na samostalan rad.
misaonoj aktivnosti učenika za vrijeme nastave matematike.
svjesnom usvajanju obrađenog gradiva. Suprotno od učenja na pamet.
1. Načelo znanstvenosti
Glavni cilj bi trebao biti razvoj mišljenja. Zašto pamtiti 10 formula, kad se mogu upamtiti dvije i ostale izvesti iz njih.
nastava matematije je tako organizirana da dopušta daljnja proširivanja gradiva.
nastavom matematike moramo upozanti učenike sa pojmovima koji su danas znanstveno potvrđeni.
upoznavanje učenika sa metodama rada u matematici uz uvažavanje i poštivanje načela u matematici.
Počiva na nužnom skladu nastavnih sadržaja i nastavnih metoda i zakona matematike.
rad po planu i programu
ne omalovažavanje i ponižavanje djece
Prihvaćanje mišljenja đaka
Priprema đaka za natjecanje
Organizirati dodatnu nastavu
koristiti pravilan rječnik čim jednostavniji, razumljiviji
Motivirati đake, zainteresirati ih za rad
Jednakopravnosti prema svim đacima
Načela rada u školi
Aksiomi i osnovni pojmovi čine temelj matematičke teorije.
Pri obradi poučka nastavnik ostvaruje načelo zanstvenosti ako učenike nauči ispravno i precizno formulrati poučak, jasno razlikovati pretpostavku od tvrdnje poučka, formulirati obrat poučka, formulirati suprotnu tvrdnju, te ako postigne razumjevanje metodike dokazivanja poučka.
primjer
Poučak: Dijagonale romba su okomite. P: četverokut je romb T: dijagonale romba su okomit.
Poučak: Umnožak 2 uzastopna parna broja a i b je djeljiv sa 8. P: a i b su uzastopni parni brojevi T: umnožak ab je djeljiv sa 8.
Dokaz poučka
Treba li dokaze upoznavati i onaj učenik koji se kasnije neće baviti matematikom ili u svom životnom djelovanju matematika neće biti od velikog zančaja?
Učenici ponekad teško razlikuju definicije pojma i poučke.
Pirmjeri narušavanja načela znanstvenosti
reci definiciju Pitagorinog poučka
poučci se ne definiraju
nacrtaj logaritamsku funkciju
crta se graf logaritamske funkcije
reci definiciju aksioma o paralelama
aksiomi se ne definiraju
Nastavnik može primjerenim formulacijama poboljšati razumjevanje opisanih razlika. Jasni razlikovanjem definicija i poučaka također se ostvaruje načelo zanstvenosti
ako je 1) def => 2) možemo dokazati ako je 2) def => 1) možemo dokazati
2) Paralelogram je četverokut kojem su suprotne stranice sukladne
1) Paralelogram je četverokut kojem su suprotne stranice paralelne
U procesu dokazivanja poučka značajnu ulogu imaju pitanja koja nastavnik postavlja učenicima. Umjeće postavljanja pitanja jedan je od oblika nastavne kreativnosti.
razlikujemo dvije vrste
Indirektan dokaz
Indirekatan dokaz tvrdnje T provodi se direktnim dokazom tvrdnje nonT=>S, gdje je S neka očigledna neistina.
Ako je implikacija dokazana, a S je neistina onda je i nonT nesitina => T istinita tvrdnja.
svođenje na kontradikciju
Krećemo od nonT i nakon niza logičkih koraka zaključujemo da bi istovremeno trebale vrijediti i neka tvrdnja R i njezina negacija nonR. Odatle zaključujemo da nonT nije istinita tvrdnja.
dokaz po kontrapoziciji
nonT=>nonP je kontrapozicija tvrdnje P=>T i njoj je ekvivalnentna. Dakle ako dokažemo istinitost prve tvrdnje povlaći istinitost druge.
Direktni dokaz
Polazeći od pretpostavke P, primjenom aksioma, definicija, ranije dokazanih teorema, nizom ispravnih logičkih zaključivanja dolazimo do tvrdnje T.
Tada je implikacija P=>T istinita
Dokazana tvrdnja se tada može koristiti za dokazivanje drugih poučaka.
dokazati poučak znači odrediti konačan niz tvrdnji T1, T2,... Tn i logičkim zaključivanjem preći od uvjeta iz pretpostavke P i tvrdnji T1,T2,... ,Tn-1 do tvrdnje Tn=T
dokaz poučak P=>T je konačan niz tvrdnji T1, T2,... ,Tn takav da
posljednja tvrdnja tog niza je tvrdnja T
svaka tvrdnja je ili aksiom ili je dobivena iz prethodno dokazanih tvrdnji tog niza po nekom pravilu zaključivanja
Logički zapis
P=>T
sastoji se uvjek od dva djela
Da bi učenici lakše mogli izdvojiti pretpostavku i tvrdnju teorem se formulira u obliku "ako... onda...". Prvi dio rečenice čini pretpostavku, a drugi tvrdnju teorema.
Tvrdnja T (zaključak, posljedica, teza)
Izjava koju treba dokazati.
pretpostavka P (uvjet, hipoteza)
Jedna ili više izjava koje smatramo istinitima.
Teorem je uvjek istinita izjava.
Poučak ili teorem je matematička izjava čija se istinitost utvrđuje dokazom.
Primjeri
Euklidovi elementi, Kruzak, Zagreb, 1999.
da se dužina koja sječe dvije dužine čini unutarnje kuteve s iste strane manjima od 2 prava kuta.
da su svi pravi kutevi međusobno jednaki,
da se ograničena dužina proširuje po širini,
Neka se postulira da se od svake točke do svake točke povlači dužina,
Sud do kojeg se ne dolazi po vlastitom iskustvu.
Polazna tvrdnja koja se uzima bez dokaza. Postulat obično izražava neki uvjet koji treba zadovoljavati neki odnos među pojmovima. - od lat. postulare - tražiti, zahtjevati
Sinonim za aksiom tvrdnja koja se temelji na aksiomu temelji se na iskustvu.
primjeri
Cjelina je veća od djela.
Stvari koje se međusobno jedna sa drugom poklapaju su jednake.
Ako se jednakim stvarima oduzmu jednake stvari i ostatci su jednaki
ako se jednakim stvarima dodaju jednake stvari i cjeline su jednake
stvari koje su jednake istoj stvari i međusobno su jednake
aksiom (grč. axico - cjenim, držim vrijednim, usvajam) - očigledna spoznaja, činjenica, vrhovni zakon, osnovno načelo koje se ne može dokazati jer je neposredno očito. (Klaić)
Aksiom je polazna tvrdnja koja se smatra istinitom i koja se ne dokazuje.
Jednostavna istinita tvrdnja koju ne dokazujemo.
Za dva pojma P1 i P2, poznajemo O1, O2, S1, S2. Ako je O1 pojma P1 sadržan u O2 pojma P2 onda je P2 rod u odnosu na pojam P1, a P1 je vrsta u odnosu na određeni rod.
Primjeri:
Srednjica trokuta: rodovi: dužina, skup točaka pravca.
Zajednički rodovi pravokutnik i romb: četverokut, paralelogram, trapez.
opseg
Skup svih pojedinačnih objekata ili relacija na koji se može primjeniti jezičin izraz pojma (Oznaka: Op)
Do opsega dolazimo klasifikacijom.
sadržaj
Skup svih obilježja koje imaju svi objekti ili relacije iz opsega opjma. (Oznaka: Sp)
formiranje pojma
Kada smo shvatili što je zajedničko izdvajaja se to što je zajedničko. To se zove formiranje i usvajanje pojma.
Predodžba o pojmu
Nakon promatranja različitih modela treba stvoriti predodžbu o pojmu. Što je tim modelima zajedničko?
Zapažanje
Početni najjednostavniji stupanj je promatranje i upoznavanje objekta. (Primjenjujemo načelo zornosti - želimo li đaku objasniti što je kocka, predočit ćemo mu kocku.)
izvedeni
Oni koji nisu osnovni. Definiraju se jasno i precizno. Njihovo značenje se opisuje ili pomoću osnovnih pojmova ili pomoću drugih prethodno definiranih izvedenih poj mova.
U slučaju različitih definicija one moraju biti međusobno ekvivalentne, što znači da te definicije imaju isti opseg.
u definiciji ne smije biti suvišnih rječi niti nedostataka koji bi mogli izazvati nedoumice. Zahtjev minimalnosti sadržaja.
svako obilježje koje ulazi u definiciju mora biti nužno.
u definiranju pojma značajnu ulogu imaju bitna obilježja pojma.
osnovni
Ne definiraju se, jednostavni, npr. skup točka.
