Álgebra de Boole
Es una herramienta de fundamental importancia en el mundo de
la computación.
Las propiedades que se verifican en ella sirven de base al diseño y la
construcción de las computadoras que trabajan con objetos cuyos valores son discretos
Axiomas
Existe un conjunto G de objetos, sujetos a una relación de equivalencia, denotada
por "=" que satisface el principio de sustitución.
Esto significa que si a = b, b puede sustituir a a en cualquier expresión que la
contenga, sin alterar la validez de la expresión
(a) Se define una regla de combinación "+" en tal forma que a + b está en G siempre
que al menos a o b lo estén.
(b) Se define una regla de combinación "" en tal forma que a b está en G siempre
que tanto a como b lo estén.
Neutros
(a) Existe un elemento 0 en G tal que para cada a de G: a + 0 = a
(b) Existe un elemento 1 en G tal que para cada a de G: a 1 = a
Conmutativos.
Para todo par de elementos a y b pertenecientes a G se cumple:
(a) a + b = b + a
(b) a b = b a
Distributivos
Para toda terna de elementos a, b, c pertenecientes a G se cumple:
a (a) a + (b c) = (a + b) (a + c)
b (b) a (b + c) = a . b + a c
Complemento
Para cada elemento a de G existe un elemento a tal que:
a*a=0
a+a=1
Existen por lo menos dos elementos x, y en G tal que x <> y
Modelo aritmético
El ejemplo más simple del álgebra de Boole se compone de un conjunto G de 2
elementos: "0" y "1".
Como es natural estos dos elementos deben coincidir con los neutros
de las reglas de combinación para satisfacer el axioma
Por lo tanto las reglas completas son:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
Propiedades
Dualidad
se presentan de a pares y en
tal forma que uno de la pareja se obtiene de otro cambiando "0" por "1" junto con "+" por ""
Idempotencia
Para todo elemento en G se cumple:
a+a=a
a*a=a
demostración
a+a=(a+a)
a+a=(a+a)*(a+|a)
a+a=a+(a*|a)
a+a=a+0
a+a=A
a*a=a (dualidad)
Asociativa
a) a (b c) (a b) c
b) a (b c) (a b) c
Neutros Cruzados
Para todo elemento en G se cumple
a+1=1
a*0=0
Demostración
a+1=a+(a+|a)
a+1=(a+a)+|a (asociativa)
a+1=a+|a (idempotencia)
a+1=1
a*0=0 (dualidad)
Complemento de complemento
Para cada elemento de G se cumple : a = |a
Para todo par de elementos de G se cumple :
a+ab=a
a(a+b)=a
ara todo par de elementos de G se cumple :
a+|ab= a+b
a(|a+b)=ab
Ley de De Morgan
Para todo par de elementos de G se cumple
Modelo lógico
Los valores que pueden asignarse a un juicio, desde el punto de vista lógico, son
dos: verdadero (V) o falso (F).
Si vinculamos los valores booleanos 0 y 1 con los valores lógicos F y V
respectivamente, encontramos que las operaciones del álgebra de Boole "binaria" asigna
correctamente los valores lógicos del juicio combinación.
Si vinculamos los valores booleanos 0 y 1 con los valores lógicos F y V
respectivamente, encontramos que las operaciones del álgebra de Boole "binaria" asigna
correctamente los valores lógicos del juicio combinación.
Un juicio al cual se le aplica el operador lógico no (negación) forma un nuevo juicio.
