В поисках дружественных чисел

Дружественные числа — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару — 220 и 284.Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра. Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел.Вторую пару – не по величине, а по календарному времени – дружественных чисел: 17 296  и  18 416 – открыл марокканский ученый ибн аль-Банна (1256–1321), около 1300 года. Независимо от ибн аль-Банна, спустя более чем 300 лет, в 1636 году, эту же пару открыл Пьер Ферма (1601–1665). Вскоре появилась третья пара: 9 363 584  и  9 437 056, которую нашел Рене Декарт (1596–1650) в 1638 году.Прошло еще 100 лет, когда гениальный математик Леонард Эйлер (1707–1783) с присущей ему основательностью и энергией включился в поиск дружественных чисел. В своих мемуарах «О дружественных числах» и «О сумме делителей» Эйлер излагает пять различных методов выявления дружественных чисел. С примерным терпением и восхитительной виртуозностью он выполняет вычисления и преподносит ровно 59 пар дружественных чисел (с 1747г по 1750г).В 1830 году французский математик Адриен Мари Лежандр нашел пару дружественных чисел. Следующим математиком, кто пополнил коллекцию только одной парой дружественных чисел, был наш выдающийся соотечественник Пафнутий Львович Чебышёв в 1851 году, а за ним в 1866г. одну пару вычислил шестнадцатилетний итальянец Николо Паганини. Он вычислил пару дружественных чисел: 1 184   и   1 210.Первым побил рекорд Эйлера бельгиец Поль Пуле – 62 новые пары к 1948 году.Далее американец Элвин Дж. Ли нашел 300 пар за период с 1968 по 1972 годы. И хотя он оперировал методами Эйлера, в несколько усовершенствованной форме, но при этом пользовался помощью ЭВМ, предшественников современных компьютеров.С наступлением эры вычислительной техники возник новый метод, о котором Эйлер не мог и помышлять, – перебирать все числа подряд, пока хватит машинного времени.К настоящему времени счёт в коллекции дружественных чисел пошёл на миллионы. Венгерский математик Пауль Эрдёш (1913–1996) доказал, что дружественные числа имеют плотность 0, т.е. их доля среди чисел, не превосходящих х, стремится к 0 с ростом х.На сентябрь 2007 года было известно 11 994 387 пар дружественных чисел. На апрель 2016 года известно более 1 000 000 000 пар дружественных чисел.Источник: Википедия.Источник: Охота на дружественные числа.

Согласно официальным данным на сегодняшний день найдено 1 225 941 824 пар дружественных чисел, которые состоят из двух чётных или двух нечётных чисел. Примеры чисел:1.   220 и 284 (Пифагор, 500 до н.э.)2.   1184 и 1210 (Паганини, 1866г.)3.   2620 и 2924 (Эйлер, 1747г.)4.   5020 и 5564 (Эйлер, 1747г.)5.   6232 и 6368 ( Эйлер, 1750г.)6.   10 744 и 10 856 (Эйлер, 1747г.)7.   12 285 и 14 595 (Браун, 1939)8.   17 296 и 18 416 (Ибн ал-Банна, около 1300,Фариси, около 1300; Ферма, 1636)9.   63 020 и 76 084 (Эйлер, 1747)10. 66 928 и 66 992 (Эйлер, 1750)11. 67 095 и 71 145 (Эйлер, 1747)12. 69 615 и 87 633 (Эйлер, 1747)13. 79 750 и 88 730 (Рольф (Rolf), 1964)14. 100 485 и 124 15515. 122 265 и 139 81516. 122 368 и 123 15217. 141 664 и 153 17618. 142 310 и 168 73019. 171 856 и 176 33620. 176 272 и 180 84821. 185 368 и 203 43222. 196 724 и 202 44423. 280 540 и 365 08424. 308 620 и 389 92425. 319 550 и 430 40226. 356 408 и 399 59227. 437 456 и 455 34428. 469 028 и 486 17829. 503 056 и 514 73630. 522 405 и 525 91531. 600 392 и 669 68832. 609 928 и 686 07233. 624 184 и 691 25634. 635 624 и 712 21635. 643 336 и 652 66436. 667 964 и 783 55637. 726 104 и 796 69638. 802 725 и 863 83539. 879 712 и 901 42440. 898 216 и 980 98441. 947 835 и 1 125 76542. 998 104 и 1 043 09643. и т. д.Далее смотреть здесь.Источник:Старт в науке

Универсальной формулы для вычисления дружественных чисел нет.Пифагорейцы нашли одну пару подбором.Первую формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил арабский математик Сабит ибн Курра. Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел.В XVIII веке Эйлер нашёл достаточный критерий построения пар дружественных чисел. В своих мемуарах «О дружественных числах» и «О сумме делителей» Эйлер излагает пять различных методов выявления дружественных чисел. В дальнейшем компьютеры помогли найти десятки миллионов пар. Один из способов нахождения дружественных пар чисел на компьютере: Для каждого числа n при помощи машины определяются все делители этого числа (? n) и их сумма m. После этого производится такая же операция с числом m. Если при этом вновь получается первоначальное число n, то пара чисел (n, m) оказывается дружественной. Недавно этим способом в Йельском университете на ЭВМ IBM 7094 были проверены все числа до одного миллиона. В результате была получена коллекция из 42 пар дружественных чисел; некоторые из них оказались ранее неизвестными. Но эффективного общего способа нахождения всех таких пар нет до сих пор.Согласно официальным данным, на апрель 2016 года известно более 1 000 000 000 пар дружественных чисел. 

Леонард Эйлер активно включился в поиск дружественных чисел. Эйлер получил утверждение, очень похожее на правило Сабита, но более общее. Правда, с помощью своего обобщения он не смог найти новые дружественные числа, так как в то время необходимые ему таблицы простых чисел были составлены только до 100 000.Эйлер искал дружественные числа и совершенно иного вида, чем его предшественники, в частности нечетные. Среди найденных им пар оказались и пары нечетных дружественных чисел видаа · p · q   и  а · rгде р, q, r – простые числа. Например:(32 · 7 · 13) · 5 · 17  и  (32 · 7 · 13) · 107;(34 · 5 · 11) · 29 · 89  и  (34 · 5 · 11) · 2699.В своих мемуарах «О дружественных числах» и «О сумме делителей» Эйлер излагает пять различных методов выявления дружественных чисел. С примерным упорством он выполняет вычисления и находит ровно 59 пар дружественных чисел с 1747 года по 1750 год.

Эйлер Л. Избранные картографические статьи. (1959) Эйлер Л. Основы динамики точки: монография - Москва | Ленинград: Издание Главной редакции Технико-Теоретической Литературы, 1938 Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума, либо минимума: монография - Вышний Волочек: Государственное технико-теоретическое изд-во, 1934 Эйлер Л. Введение в анализ бесконечно малых: монография. Т. 1 - Москва | Ленинград: ОНТИ НКТП СССР, 1936 Эйлер Л. Дифференциальное исчисление - Москва | Ленинград: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1949 Эйлер Л. Исследования по баллистике: монография - Москва: Гос. изд-во физико-математической лит., 1961 Эйлер Л. Оснований алгебры части первой первые три отделения. Т. 2. Отделение 3 - Санкт-Петербург: При Императорской Академии Наук, 1812 Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных: монография. Т. 2 - Москва: Гос. изд-во физико-математической лит., 1961 Эйлер Л. Новая теория движения Луны - Л.: Изд-во Акад. наук СССР, 1934 Эйлер Л. Интегральное исчисление. Т. I - Москва: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1956 Эйлер Л. Интегральное исчисление. Т. II - Москва: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1957 Эйлер Л. Интегральное исчисление. Т. III - Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958

Эйлер почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. С 1726 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской академии наук (сначала адъюнктом, а с 1731 года — профессором).Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. По выражению П.С. Лапласа, Эйлер явился учителем математиков 2-й половины XVIII в. От его работ непосредственно отправлялись в разнообразных исследованиях П.С. Лаплас, Ж.Л. Лагранж, Г. Монж, А.М. Лежандр, К.Ф. Гаусс, позднее О. Коши, М.В. Остроградский, П.Л. Чебышев и др. Русские математики высоко ценили творчество Эйлера, а деятели чебышевской школы видели в Эйлере своего идейного предшественника в его постоянном чувстве конкретности, в интересе к конкретным трудным задачам, требующим развития новых методов, в стремлении получать решения задач в форме законченных алгоритмов, позволяющих находить ответ с любой требуемой степенью точности. Всего за свою жизнь он создал около 850 трудов.В честь Эйлера названы:множество понятий в математике и других науках;Кратер Эйлер на Луне;Астероид 2002 Эйлер;Вершина пик Эйлера на Памире;Международный математический институт им. Леонарда Эйлера Российской Академии наук, основанный в 1988 году в Ленинграде;Золотая медаль имени Леонарда Эйлера Академии наук СССР и Российской академии наук;Медаль Эйлера, с 1993 года ежегодно присуждаемая канадским Институтом комбинаторики и её приложений за достижения в этой области математики;Международный благотворительный фонд поддержки математики имени Леонарда Эйлера;Улица в Алматы.В 1907 году российские и многие другие учёные отметили 200-летие великого математика, а в 1957 году советская и Берлинская академии наук посвятили торжественные сессии его 250-летию. В канун 300-летия Эйлера (2007) в Петербурге состоялся международный юбилейный форум и был снят кинофильм о жизни Эйлера. В том же году в Петербурге, у входа в Международный институт Эйлера, был открыт памятник Эйлеру работы скульптора А. Г. Дёмы.

Можно ли представить себе мир без чисел? Само возникновение понятия числа – одно из гениальных проявлений человеческого разума.Самые древние по происхождению числа - натуральные. Ещё в начальной школе мы знакомились с чётными и нечётными числами, далее на уроках математике знакомимся с простыми числами. А вот уже в рамках математического сетевого проекта «Узы дружбы в мире чисел» узнали, что среди натуральных чисел есть ещё совершенные и дружественные числа.Конечно, многим сейчас занятия Пифагора могут показаться ненужными забавами. Но нельзя забывать, что с этих забав началось серьёзное знакомство людей с числами, так возник раздел математики «Теория чисел».Многие проблемы теории чисел может понять и школьник, но решение этих проблем настолько сложно, что на них ушли столетия, много вопросов еще ждут своего решения.Совершенные и дружественные числа не имеют широкого применения, поэтому и не изучаются на уроках математики, но являются любопытным элементом занимательной математики.

1.         https://biblioclub.ru/index.php?page=author_red&id=314842.         http://ggpatl.by/math/%D0%B4%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0/3.         https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80,_%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B44.         https://yablor.ru/blogs/leonard-eyler-geniy-matematiki/58293855. https://obrazovaka.ru/leonhard-euler.html6. Б.А. Кордемский. Великие жизни в математике (Москва, «Просвещение», 1995) 7.В. Боро, Д. Цагир, Ю. Рольфс, Х. Крафт, Е.К. Янцен. Живые числа. Пять экскурсий (Москва, «Мир», 1985)8.http://math4school.ru/ohota_na_druzhestvennie_chisla.html9.https://school-science.ru/5/7/3497910.https://ggpatl.gomel.by/math/дружественные-числа/11.https://sech.me/ap/12.https://sech.me/boinc/Amicable/

Эйлер продолжил исследования Ферма. В XVIII веке Эйлер нашёл достаточный критерий построения пар дружественных чисел, и в его списке было уже 90 пар. Правда, этот критерий охватывает не все пары; например, пару (1184, 1210) Эйлер не заметил, её обнаружили уже в XIX веке.В своих мемуарах «О дружественных числах» и «О сумме делителей» Эйлер излагает пять различных методов выявления дружественных чисел и находит ровно 59 пар дружественных чисел с 1747 года по 1750 год.

Российский ученый П.Л. Чебышев, используя новый критерий простоты чисел, сумел обнаружить с помощью теоремы Эйлера одну пару дружественных чисел.

Дмитрий Александрович Могила(Грэйв) внес большой вклад в развитие и совершенствование преподавания математических наук в Киевском университете. Одним из новшеств, которые он представил, был обязательный курс теории чисел, и он ввел новый стиль для семинаров, предназначенных для обучения студентов. Среди курсов, которые он преподавал в Киеве, можно отметить: «Теория групп»; «Элементарный курс по теории чисел», который содержал и вопрос о дружественных числах.Источник информации: Биография.

30 января 2017 года запущен проект распределённых вычислений на платформе BOINC — Amicable Numbers. Поиск дружественных чисел осуществляется теперь как с помощью расчётов на процессоре, так и на видеокарте. В том же году запущен частный проект, который организовал Сергей Черных. Он занимается поиском дружественных чисел вплоть до 2^64, что позволит подобрать гораздо более точные эмпирические формулы для функции A(N) — количества дружественных пар чисел, в которых меньшее число из пары меньше или равно N. Результаты проекта будут опубликованы на сайте автора в виде статьи с новыми формулами.Все новые дружественные числа каждый день автоматически добавляются в открытый доступ в список всех известных дружественных чисел. Списки этих чисел здесь.