Contexto histórico de la rigorización de las matemáticas y crisis de los fundamentos matemáticos en el siglo XX

Se empieza a acentuar una crisis al interior de las matemáticas en el siglo XX, que preocupó profundamente a los matemáticos de la época.

Por lo tanto

Se puede decir que la crisis inicia con la formulación de la teoría de conjuntos por parte de Georg Cantor en 1874, a partir de las colecciones de objetos.

Aunque ésta fue apoyada por Richard Dedekind y Karl Weierstrass, a su vez fue profundamente rechazada por Leopold Kronecker.

De esta manera surgen muchas paradojas sobre la teoría de conjuntos, por lo que se vuelve indispensable establecer una teoría libre de contradicciones. Todo ello decanta en una terrible decepción y los matemáticos terminan dudando del fundamento último en el que se apoyan.

Tras el desarrollo dado en el análisis matemático en el siglo XVIII y teniendo en cuenta que sus conceptos carecían de definiciones rigurosas, se da inicio a comienzos del siglo XIX, una serie de fuertes cuestionamientos por parte de personajes como Bernard Bolzano, Niels Henrik Abel, Augustin Louis Cauchy, Karl Weierstrass, Richar Dedekind y Gerog Cantor; quienes con sus trabajos establecieron las pautas características del análisis matemático y su enseñanza en la época actual.

Dentro de los aportes significativos de este proceso de rigorización se encuentra el trabajo realizado por el filosofo matemático Bernard Bolzano, pionero en la temática de función continua. Logrando probar rigurosamente el teorema del valor intermedio, a través de formulaciones de la noción de limite, continuidad de funciones y la convergencia de series infinitas.

Por su parte el francés Augustin Louis Cauchy es fundamental para el desarrollo riguroso del cálculo, teniendo muy presente el rol central de la aritmética del concepto de limite liberado de la geometría y la intuición temporal.

Se sucedieron importantes intentos en búsqueda de la consistencia de las nuevas geometrías y en la rigorización del análisis y el álgebra (Bolzano, Abel, Cauchy, etc.). Cauchy trató de fundamentar el cálculo en el número, y en el concepto de límite.

El filósofo y lógico Bertrand Russell crea el movimiento logicista para superar la crisis producida por las paradojas. Conduce las matemáticas al universo de la lógica; a los conjuntos ordinarios los llama "conjuntos predicativos", y a los extraordinarios, "conjuntos no predicativos". Esto permitió deducir que las contradicciones obtenidas en la teoría de conjuntos se debió al uso de conjuntos no-predicativos.

Uno de los primeros intentos en este proceso de rigorización fue hecho por Weierstrass. Este dió una derivación de las propiedades de los irracionales a partir de los racionales

David Hilbert elaboró un método que permitió construir la matemática en base a un conjunto de axiomas. Luego, se debía elaborar un método que pruebe la consistencia o inconsistencia de la teoría
En1901 formaliza la teoría axiomática. Los axiomas deben ser elegidos de modo que no produzcan contradicciones. Los elementos de la teoría son entes abstractos que no necesitan ser definidos; sólo interesan las relaciones que puedan establecerse entre ellos. Con el objeto de evitar conflictos, y que la teoría no se derrumbe, Hilbert crea la metamatemática, la que es una teoría de la demostración.

Kurl Gödel probó que, si la teoría axiomática era consistente, entonces existen teoremas que no pueden ser probados ni refutados. Por lo tanto, no existe ningún procedimiento que pruebe que la teoría axiomática de conjuntos sea consistente.

En 1963 Paul Cohen prueba que si asumieramos que la hipótesis del continuo fuera falsa, entonces tampoco se llega a una contradicción.