Fracción Parcial

Las fracciones parciales son fracciones formadas por polinomios, en las que el denominador puede ser un polinomio lineal o cuadrático y, además, puede estar elevado a alguna potencia. A veces, cuando tenemos funciones racionales resulta de gran utilidad reescribir dicha función como una suma de fracciones parciales o fracciones simples.

Esto es así porque de esta forma podemos manipular dichas funciones de mejor manera, sobre todo en los casos en los que sea necesario integrar dicha aplicación. Una función racional es simplemente el cociente entre dos polinomios, y pueden ser propias o impropias.

Cuando tenemos una función racional impropia, podemos dividir el polinomio del numerador entre el polinomio del denominador y así rescribir la fracción p(x)/q(x), siguiendo el algoritmo de la división como t(x) + s(x)/q(x), donde t(x) es un polinomio y s(x)/q(x) es una función racional propia.

Una fracción parcial es cualquier función propia de polinomios, cuyo denominador sea de la forma (ax + b)n o (ax2+ bx + c)n, si el polinomio ax2 + bx + c no posee raíces reales y n es un numero natural.

Para poder reescribir una función racional en fracciones parciales, lo primero que se debe hacer es factorizar el denominador q(x) como producto de factores lineales y/o cuadráticos. Uno vez hecho esto se procede a determinar las fracciones parciales, las cuales dependen de la naturaleza de dichos factores.

1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.
2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.
3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.
4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.

Procedimiento para:
Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

Paso 1:
Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de la función del numerador.

Paso 2:
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, px +q, o factores cuadráticos irreductibles, y agrupar los factores repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores diferentes de la forma, donde o los números m y n no pueden ser negativos.

Paso 3:
Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.

CASO 1: FACTORES LINEALES DISTINTOS.
En este caso a cada factor lineal de la forma ax + b del denominador le corresponde una constante, se aumentara en numero de constantes dependiendo de cantos factores se tenga en el denominador.

CASO 2: FACTORES LINEALES REPETIDOS.
El numero de factores será igual al grado (exponente) del polinomio; es decir; a cada factor lineal ax+b que figure n veces en el denominador le corresponde una suma de fracciones.

CASO 3:FACTORES CUADRÁTICOS DISTINTOS
En este caso a cada factor le corresponderán dos constantes, de las cuales una de estas será el coeficiente del termino lineal. El denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno de estos se repite.

CASO 4: FACTORES CUADRÁTICOS REPETIDOS
El denominador contiene factores de segundo grado y algunos de estos se repiten.
A todo factor de segundo grado repetido n veces.