ECUACIONES DE UNA VARIABLE: LINEALES, CUADRÁTICAS Y EXPONENCIALES

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ECUACIONES DE UNA VARIABLE: LINEALES, CUADRÁTICAS Y EXPONENCIALES

¿CÓMO SE GRAFICAN LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS EN EL EJE DE COORDENADAS?

La gráfica de una ecuación cuadrática en la forma y = ax 2 + bx + c tiene como su eje de simetría la recta . Así, la ecuación del eje de simetría de la parábola dada es o . Sustituya en la ecuación para encontrar la coordenada en y del vértice.

MÉTODOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

RESOLVER COMPLETANDO EL CUADRADO

1.Transforme la ecuación para que el término constante, c , esté solo en el lado derecho. 2.Si a , el coeficiente principal (el coeficiente del término x 2 ), no es igual a 1, divida ambos lados entre a . 3.Sume el cuadrado de la mitad del coeficiente del término x , en ambos lados de la ecuación. 4.Factorice el lado izquierdo como el cuadrado de un binomio. 5.Realice la raíz cuadrada en ambos lados. (Recuerde: ( x + q ) 2 = r es equivalente a. 6.Resuelva para x .

ECUACIÓN CON LA FORMA; UN CUADRADO IGUAL A CONSTANTE.

Completar el cuadrado es una técnica para volver a escribir cuadráticas en la forma (x+a)2+b(x+a) Por ejemplo, x2+2x+3x, puede volver a escribirse como (x+1)2+2. Las dos expresiones son completamente equivalentes, pero es más fácil trabajar con la segunda en algunas situaciones.

FACTORIZACIÓN PARA CONSEGUIR LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Para resolver ecuaciones de segundo grado o cuadrática por factorización (o también llamado por descomposición en factores), es necesario que el trinomio de la forma ax2 + bx + c = 0 sea factorizable por un término en común o aplicando un producto notable. Para esto, 1° Deberás simplificar la ecuación dada y dejarla de la forma ax2 + bx + c = 0. 2° Factorizar el trinomio del primer miembro de la ecuación, para obtener el producto de binomios. 3° Igualar a cero cada uno de los factores, esto lo podemos realizar, ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos o ambos, son iguales a cero. Luego, se resuelven las ecuaciones simples que se obtienen de este modo.

TIPOS DE SOLUCIONES REALES

El discriminante puede ser positivo, cero o negativo y esto determina cuántas soluciones (o raíces) existen para la ecuación cuadrática dada. •Un discriminante positivo indica que la cuadrática tiene dos soluciones reales distintas. •Un discriminante de cero indica que la cuadrática tiene una solución real repetida. •Un discriminante negativo indica que ninguna de las soluciones son números reales.

¿QUE ES EL DISCRIMINANTE?

es la parte de la fórmula cuadrática bajo la raíz cuadrada.

FORMULA CUADRANTE O RESOLVENTE

¿Cuándo una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones reales, una solución, o no tiene solución real?

La ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, puede tener una, dos o ninguna solución. Depende del valor del Discriminante: D = b2 - 4ac. •D>0 Dos soluciones reales distintas. •D=0 Dos soluciones reales iguales. (Una solución.) •D<0 No hay solución real.

¿CUANDO SE USA?

Se usa cuando la ecuación esta escrita en su forma general. ax2+ bx + c = 0, con a≠0.

¿CÚAL ES?

Como vemos en la imagen superior, la fórmula es -b±√(b²-4.a.c) 2.a Para aplicarla, debemos fijarnos en qué elemento pertenece a cada letra.

ECUACIONES CUADRATICAS

Las ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado son aquellas en donde el exponente del término desconocido está elevado al cuadrado, es decir, la incógnita está elevada al exponente 2. Tienen la forma general de un trinomio: ax2+ bx + c = 0 donde a, b y c son números reales y se conocen como coeficientes. Así, a es el coeficiente de x2, b es el término o coeficiente de x y c es el término independiente.

1.Aplicamos la propiedad de potencia de otra potencia. 2.Realizamos el cambio de variable. 3.Factorizando la ecuación y resolviendo. 4.Deshacemos el cambio de variable.

CARACTERÍSTICAS DE LAS ECUACIONES EXPONENCIALES DE UNA VARIABLE

1) El dominio de una función exponencial es R. 2) Su recorrido es (0, +∞). 3) Son funciones continuas. 4) Como a0 = 1, la función siempre pasa por el punto (0,1). La función corta el eje Y en el punto (0,1) y no corta el eje X. 5) Como a1 = a, la función siempre pasa por el punto (1, a). 6) Si a > 1 la función es creciente. Si 0 < a < 1 la función es decreciente. 7) Son siempre cóncavas. 8) El eje X es una asíntota horizontal. •Si a > 1 : Al elevar un número mayor que 1 a cantidades negativas cada vez más grandes, el valor de la potencia se acerca a cero, por tanto : Cuando x → - ∞ , entonces a x → 0 •Si 0 < a < 1: Ocurre lo contrario que en el caso anterior : Cuando x → + ∞ ,entonces ax → 0

LA ECUACIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN EXPONENCIAL

Sea a un número real fijo, positivo y diferente de 1, entonces la ecuación: ax+ = b se denomina ecuación exponencial elemental.

¿CÓMO SE GRAFICAN LAS ECUACIONES LINEALES DE UNA VARIABLE?

La gráfica de una ecuación lineal con dos variables es una recta (es por eso que se le llama lineal ). Si Usted sabe que una ecuación es lineal, puede graficarla al encontrar cualquiera de las dos soluciones ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ), graficando esos dos puntos, y dibujando la recta que los une.

PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL EN UNA VARIABLE

•Por reflexiones lógicas: consiste en determinar cuál es el valor de la variable que satisface la ecuación planteada mediante operaciones que se realizan mentalmente. •Por un procedimiento algorítmico: consiste en realizar una serie de pasos para obtener la solución, que se pueden seguir como un modelo. •Formar la ecuación, si parte de una situación problémica. •Agrupar términos semejantes en cada miembro de la ecuación. •Reducir términos semejantes. •Despejar la variable. •Calcular el valor de la variable. •Comprobar que el valor obtenido satisface la ecuación o la situación polémica. •Escribir el conjunto solución o dar la respuesta, si partió de una situación problémica.

TRANSFORMACIONES EQUIVALENTES EN UNA ECUACIÓN LINEAL

Las que se realizan en ambos miembros de la ecuación al mismo tiempo. Estas son transformaciones que se pueden fundamentar mediante la ley de monotonía. •Adición o sustracción a ambos miembros de la ecuación, de un término T definido para todos los valores de de la variable, que se pueden sustituir en la ecuación. •Multiplicación o división de ambos miembros de la ecuación por un término, que para todas las sustituciones permisibles de la variable toma valores diferentes de cero.

Las que se realizan en cada miembro de la ecuación. •Supresión de paréntesis. •Colocación de paréntesis. •Simplificación y ampliación de fracciones numéricas. •Aplicación de la ley conmutativa de la adición y de la multiplicación. •Agrupación de términos (adición, multiplicación, etcétera).

Toda transformación de una ecuación lineal que no conduce a ningún cambio, en el dominio básico de solución dado, se denomina transformación equivalente de la ecuación. Dentro de las principales transformaciones equivalentes de las ecuaciones lineales están:

CARACTERISTICAS DE LAS ECUACIONES LINEALES DE UNA VARIABLE

El lenguaje algebraico, como todo lenguaje consta de un sistema de signos, unas relaciones entre ellos para formar frases, una sintaxis y una semántica. El conjunto de signos con sentido forman una frase. La semántica estudia la correspondencia entre significantes y significados y permite distinguir de entre las frases correctamente formadas, aquellas que tienen significado. La sintaxis algebraica estudia las reglas a que han de someterse los símbolos para formar frases algebraicamente correctas.

DEFINICION DE ECUACIONES LINEALES

Una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.