APLICACIONES DE LA DERIVADA AL ANÁLISIS DE FUNCIONES

CALCULO APROXIMADO DE LOS VALORES DE UNA FUNCIÒN
La introducción de la derivación nos permite hacer cálculos aproximados más precisos para las funciones derivables, siempre que se escoja Delta.

Una función es cóncava si fijado un vector unitario en el semieje positivo OY, dicho vector está en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a la función) que la función. En caso contrario (distintos semiplanos) se dice convexa.

EJEMPLO

f(x)=x3-3x2+6x-6
f ‘(x)=3x2-6x+6
f “(x)=6x-6

6x-6 >0 ⇒ x>1 cóncova 6x-6 <0 ⇒ x<1 convexa

.Si f es una función derivable en el intervalo (a;b) y para cada x con a<x<b se cumple f ‘(x) >0, entonces la función f es estrictamente creciente en el intervalo dado.
.Si f es una función derivable en el intervalo (a;b) y para cada x con a<x<b se cumple f ‘(x) < 0, entonces la función f es estrictamente decreciente en el intervalo dado.

EJEMPLO

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función : y=¹/3 x3 + x2 + 1

Resolución
Como y‘=x2+2x=x(x+2)
Se analiza el signo de la expresión x(x+2)
Signos.jpg
y‘ es positiva si x<-2 o si x>0

y‘ es negativa si -2<x<0

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro.

EJEMPLO

f(x)=x3-3x2+6x-6
f ‘(x)=3x2-6x+6
f “(x)=6x-6

6x-6 =0 ⇒ x=1
El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada segunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava).

Un punto x0 es un extremo local (máximo o mínimo) de una función f, si el valor f(x0) es mayor (máximo) o menor (mínimo) que todos los valores que toma la función en un intervalo del tipo (x0-µ;x0+µ).

EJEMPLO

Halla los extremos locales de la función : y=x3 -12x-4
Resolución
Como y‘= 3x2-12= 3(x2-4)=0
Los ceros de y‘ son x=2 y x=-2. Al analizar el signo de y‘ encontramos y‘< 0 en (-2; 2), luego en x=-2 y‘ pasa de valores positivos a negativos, se trata de un máximo que es ymax=f(-2)=12.
En x=2 y‘ pasa de valores negativos a positivos, se trata de un máximo que es ymin=f(2)=-20.