INTEGRACION
¿Qué se entiende por Antiderivación?
Se dice que una función F(x) es una antiderivada de f(x) si:
F'{x) = f(x)
Para cada x en el dominio de f(x). El proceso de determinar las anti derivadas recibe el nombre de anti derivación o integración indefinida.
Se dice que una función F(x) es una antiderivada de f(x) si:
F'{x) = f(x)
Para cada x en el dominio de f(x). El proceso de determinar las anti derivadas recibe el nombre de anti derivación o integración indefinida.
Algunas veces se escribe la ecuación
F'(x) = f(x)
Se escribe como:
dF/dx: f(x).
Ejemplo:
Verifique que F'(x) =(1/3)x3 + 5x + 2 es una antiderivada de F'(x) = x"2 + 5.
F(x) es una antiderivada de f(x) si y sólo si F'(x) = f{x). Derivando F se llega a que
F'(x)= 1/3 (3x"2)+ 5
= x"2 + 5 = f(x)
En general, si F es una antiderivada de F, entonces también lo es cualquier función de la forma G(x) = F(x) + C, para C constante, ya que
G'(x) = [ F(x) + C ]'
= F' ( x ) + C'
Regla de la derivada de la sumas
= F' (x) + 0
Porque la derivada de una constante es 0
= F(x)
Ya que F es una antiderivada de f
Para f(x)=3x"2, la funcion: F(x)=x"3 es una antiderivada
F'(x)= (x"3) = 3 (x"2) = f(x)
F'(x)=f(x)
Propiedad Fundamental de la Antiderivada
Si F(x) es una antiderivada de la función continua f(x), entonces cualquier otra antiderivada f(x) tiene la forma
G(x) = F(x) + C para alguna constante C.
Existe una interpretación geométrica simple para la propiedad fundamental de las antiderivadas. Si F y G son antiderivadas de f, entonces:
G'(x) = F'(x) = f(x)
Esto significa que la pendiente F'(x) de la recta tangente a y = F(x) en el punto (x, F(x)), es la misma que la pendiente G'(x) de la recta tangente a y = G(x) en (x,G(x)). Dado que las pendientes son iguales, se deduce que las rectas tangentes en (x, F(x)) y (x, G(x)) son paralelas. Puesto que esto es válido para toda x, la curva completa y = G(x) debe ser paralela a la curva y = F(x), de manera que:
y= G (x) = F (x) + C
El conjunto de gráficas de todas las antiderivadas de una función dada "f", es una familia de curvas paralelas que son traslaciones verticales una de otra.
Las gráficas de las antiderivadas de una función f forman una familia de curvas paralelas.
Se acaba de ver que si F(x) es una antiderivada de la función continua f(x)entonces todas las antiderivadas pueden ser escritas como F(x) + C, donde C es una constante.
La familia de todas las antiderivadas de f(x) se representa como ∫f(x) dx = F(x) + C
INTEGRAL DEFINIDA
¿Qué se entiende por Integral Definida?
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas.
Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función:
El eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:
Ejemplos
Intregral Indefinida
Reglas algebraicas
Integral de una suma
Se suman las integrales por separado
Luego se juntan y se suman
Integral de producto constante
Se extrae la constante
Se multiplica a el resultado de la integral
REGLAS DE INTEGRACION
