LIMITE

ANTIGÜEDAD GRIEGA
(S. VI a. C. - S. III a. C.)

Al Introducir la idea de "tan pequeño como se quiera", aparecen antecedentes trascendentales de nuestro proceso de "paso al límite"; esta etapa se establece como una de las fases importantes para el desarrollo de dicho concepto, ya que el concepto limite aparece como proceso implícito en algunos métodos utilizados que permiten resolver diferentes problemas.

METODOS TALES COMO:
Método de exhaución

Permite aproximar el perímetro o el área de figuras curvas, aproxima la figura por otras en las que se pueda medir la magnitud para lograr aproximarse a la magnitud buscada, Arquimedes usó este método para hallar la superficie de un circulo inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares de n lados conociendo su superficie, aumentando cada vez mas el numero de lados hasta que la diferencia quedó exhausta llegando a polígonos de 96 lados.

EPOCA GRECO
(S. III a.C. - S II)

El paso al limite está implícito en el método heurístico de aproximaciones sucesivas y el método mecánico gracias a los cuales se evidencian a hallazgos apoyados también en la intuición geométrica que surge gracias al descubrimiento de los irracionales, el metodo de exhaución que permite la comparación de áreas y volúmenes de figuras
curvilíneas por aproximación de figuras rectilíneas. En el momento en que se calculó el área del círculo aparece una oportunidad para desarrollar herramientas muy similares
al concepto de límite.

En esta época el "limite" se considera como una aproximación de procesos geométricos infinitos.

RENACIMIENTO
(S. XV — S. XVII)

Con el método (método de los infinitésimos) propuesto por Kepler fué posible solucionar problemas de medidas de volúmenes o áreas, planteaba que los cuerpos se descomponen en partes infinitamente pequeñas pero se conocía el volumen y área de cada una de ellas.

El límite en esta época se considera como una aproximación finita, como que toma “una”de un número finito de cantidades que se aproximan al limite como la mejor aproximación,
y no tanto como se desee.

Propone el método de los indivisibles el cual fue utilizado para hallar el área de figuras planas, volúmenes de cuerpos y estudio de curvas representando trayectorias de movimientos. De igual forma tuvo gran influencia en el pensamiento de los matemáticos con diferentes planteamientos, uno de ellos consistía en que un infinitesimo es un cero
pequeño.

Metodo de Borrow

La importancia de la regla de Barrow es doble: Por una parte es un método que nos permite calcular integrales definidas obteniendo únicamente una función tal que F’(x)=f(x) y luego calcularla en los límites de integración y por otro representa una conexión entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

Su método es muy semejante al de fermat, pero en el que aparecen dos incrementos e y a, que equivalen a los Δx y y actuales

Método de las tangentes

Fermat envia a Mersenne en 1637 una memoria que se titula sobre las tangentes a las lineas curvas donde parece plantear un método para calcular tangentes en un punto de cualquier curva , si bien solo lo utiliza con la parábola.

Método para buscar extremos de curvas.

Hacia el año 1636 circuló en Francia una memoria de Fermat titulada Methodus ad disquirendam maximam et minimam (“Método para investigar máximos y mínimos”), cuya importancia radica en que, además de ser el primer
método general conocido para determinar máximos y mínimos, presentaba la idea de dar un incremento a cierta magnitud, la cual tomaba así el aspecto de
una variable.

Estos métodos desconocían que existía una generalidad entre ellos, por lo que funcionaban de forma separada; era el concepto de límite el factor de universalidad de estos

Todos estos métodos fueron el germen del análisis infinitesimal y surgieron motivados por las exigencias de la mecánica , de la astronomía y de la física. El álgebra fue el que aporto estas herramientas necesarias para que alguno de estos métodos se desarrollaran.

1642-1727 (S. XVII)

A partir de una relacion con el calculo de fluxiones ( velocidades instantaneas)rea el método de las primeras y ultimas relaciones, una de las primeras formas de la teoría de los limites como la mejor de todas las aproximaciones; con ayuda de este método se expusieron los teoremas sobre los limites de las relaciones entre la longitud de arco y la cuerda y tangente, fué de esta forma que el límite se estableció como una herramienta para resolver problemas.

En su obra Principia Mathematica aclara el
concepto de límite que determinó como las cantidades, y la razón de cantidades, que en cualquier intervalo finito de tiempo convergen continuamente a la igualdad, y que antes del final de dicho tiempo se aproximan una a la otra más que cualquier diferencia dada, se hacen finalmente iguales.

CONCEPCION ALGEBRAICA

1646-1716

A diferencia de Newton, a Lebniz le interesaba el aspecto formal de las matemáticas y la explicación metafísica, por ello sus métodos de trabajo estuvieron mas encaminados por el trabajo aritmético y las sucesiones de sumas y diferencias; entonces Lebniz se aproxima al tema a través de una discusión de "cantidades infinitamente pequeñas", es decir, cantidades que aunque ya eran cero no podían disminuir más.

El limite se aplica a cantidades variables, relativas a valores numericos. El modelo del limite es "infinitesimalista" ya que considera diferencias infinitamente pequeñas, es entonces cuando surge una concepcion geometrica del concepto "límite".

1707-1783

Con las ayuda de las ideas de Newton y Leibniz nació una nueva rama de las matematicas: El Analisis, este se ocupa del estudio de procesos infinitos.
Su teoria de los ceros enmascaraba los pasos reales al límite, entonces, se sientan las bases para separar el calculo de la geometría.

Se introduce el símbolo f(x) para función y esta se concibe como una expresión analítica (y =f(x))

1717-1783

Crea "la teoria de los Límites" y como solucion a los fundamentos del calculo infinitesimal, dando la siguiente definición al Límite:

“Se dice que una cantidad es el límite de otra cantidad cuando la segunda puede aproximarse a la primera tan cerca como una cantidad dada, tan pequeña como se pueda suponer, sin que la cantidad que se acerca pueda sobrepasar la cantidad a la que se acerca; de suerte que la diferencia de una semejante cantidad a su límite es absolutamente inasignable” (D’Alembert, 1765 en Enciclopedie, Artículo “Límite” citada por Sierpinska, 1985, p.49)

1736-1813

Hace parte de las concepciones algebraicas junto a Leibniz y Newton
trabaja con desarrollos de funciones en series de potencias cuyos resultados le indicaron que se podian evitar los limites y continuó desarrollando dichas series, pasando por alto la convergencia de las mismas requeria del concepto Limite.

CONCEPCION ARITMETICA

“Cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan indo finida-mente a un valor filo, de manera que termina por diferir de él en tanto como queramos, este
último valor se llama límite de todos los demás” (Cauchy citado por Boyer, 1992

Cauchy fue la primera persona el cual denoto un valioso y concreto significado matemático el cual se da en dos palabras u frases como lo son DEFINICIÓN Y LIMITES.

Niels Henrik Abel lo reconoció como la única persona que sabía cómo deberían hacerse las matemáticas

Fue el primero en demostrar muchos teorema incluido el complejo y difícil Teorema del número poligonal de Fermat

(1781-1848)

En sus trabajos matemáticos anticipó muchos de los conceptos que posteriormente redescubrieron y desarrollaron matemáticos como Cauchy, Weierstrass o Cantor. Asi, a partir de la definición de limite planteada previamente propuso una definición de continuidad

Una función f(x) varía según la ley de continuidad para todos los valores de x dentro o fuera de ciertos límites, significa exactamente que: si x es algún tal valor, la diferencia f(x + ω) − f(x) puede ser hecha más pequeña que cualquier cantidad dada, supuesto que ω puede ser tomado tan pequeño como queramos.
-CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE, Francisco Javier Pérez González.

CONCEPCIÓN ANALÍTICA

A partir de los conceptos establecidos por Bolzano y Cauchy fundamentando el concepto de numero real y proponiendo el concepto de Limite mas cercano al que se emplea hoy en dia, , tal como la recogió en sus notas el matemático H.E. Heine (1821 - 1881) consiste en:

1948-1950

Surgen otros terminos a partir de la heuristica

Heuresis, Heuretes, Heuretikcos,significado invención

Eureka, el famoso grito de Arquímedes, cuando, según se cuenta, salió desnudo a la calle gritando luego de haber encontrado el punto de equilibrio que lleva su nombre.

Heurem, invención o descubrimiento, aplicado en la medicina

1960-1971

Considera que la heuristica se apoya en dos teorías
fundamentales:

Teoría de la plausibilidad

La lógica de plausibilidad generalizada constituye la formalización de la decisión racional; así, el haber construido la lógica de plausibilidad generalizada y establecido su vinculación con la decisión racional, supone alcanzar un objetivo importante al nivel pedagógico, pues, aportar a la decisión racional es aportar a la pedagogía como formación

Teoría de los sistemas

Se puede entender por sistemas de valores, al conjunto de reglas de conducta, tanto morales como sociales, o de cualquier otra índole, que vienen a ser cualidades de carácter preferidas, y de metas típicamente aprobadas dentro de una comunidad dada

1977

Teoría del Falsacionismo

La teoría del Falsacionismo dice que una afirmación es falsable si es que es posible (aunque sea sólo en teoría) diseñar un experimento tal que uno de los potenciales resultados de ese experimento es que la afirmación sea falsa.

1993

Una expresión mediante la cual quiero sencillamente hacer referencia tanto al marco teórico y conceptual de la heurística, como al estudio de su importancia, significado, alcances y limitaciones al mismo tiempo sociales, culturales, científicos y filosóficos (es decir, teóricos) de la heurística.

1887-1985

Desarrolla una teoría heuristica para las resoluciones problemas matemáticos,reglas heuristicas ligadas a la psicología y dar descripciones detalladas de varios métodos heuristicos.

Teoría de resolución de problemas: Se basa en experiencias pasadas y conocimiento ya adquirido

1988

Es una herramienta de apoyo para docentes y estudiantes que proporciona un marco amplio para la realización de actividades experimentales, contiene la fases del método científico que aporta conocimiento que guían al desarrollo de investigaciones.

1995

Desarrolla un conjunto de ideas filosóficas que le llevo a ganar el premio Nobel, entre las ideas mas destacadas se presenta la filosofía del limite.

la filosofía del limite se centra en explicar que el hombre esta definido por limites y la tarea de la filosofía es encontrarle una solución a las preguntas y problemas que envuelven al mismo; no todas las respuestas pueden ser tomadas desde la razón y ahí es donde entra lo misterioso, para Sagner el hombre esta en el limite entre lo tangible y lo misterioso.

2000

Participó en el Seminario de Profesores de Filosofía de la Universidad Panamericana en el análisis del tema "Lógica y Heurística".

Discutió una propuesta de investigación entre los limites de acercamiento y su relación compleja con las mismas. Ademas discutió el problema filosófico de la heuristica y las posibles aportaciones psicológicas al caso.

Cauchy pasa a estudiar la continuidad de las funciones
elementales, considerando en cada caso, los límites entre los que cada función es continua.
Después demuestra el teorema de los valores intermedios

Desde entonces y a traves de su evolucion el concepto limite ha servido como soporte a otras como la continuidad, la derivada y la integral,
hecho que ha contribuido a un uso universalizado de la misma.

Finales del siglo XVIII y comienzos del XIX