PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos.

PERMUTACIONES

Permutar es colocar elementos en distintas posiciones.

Permutar algunos objetos, de todos diferentes

El número de formas diferentes en que puede ordenarse n objetos diferentes cuando se toman algunos de éstos (r) es el numero de permutaciones , tal como se presenta en el siguiente ejemplo.

Permutar todos los objetos, de todos diferentes

El número de formas diferentes en que puede ordenarse n objetos diferentes cuando se toman de uno en uno.

Permutar todos los objetos, de algunos repetidos

El número de formas diferentes en que pueden ordenarse K1, K2, … y Kn objetos iguales entre sí.

Permutar algunos objetos, de algunos repetidos

No existe una forma fácil para determinar el número de permutaciones cuando se toman algunos objetos de un conjunto que contiene varios artículos iguales entre sí.

Permutación con remplazo

En todos los ejemplos anteriores, el número de objetos estaba perfectamente definido. Sin embargo, es frecuente que el número de objetos sea limitado, pero el número de veces que se presente sea infinito, por ejemplo cuando los objetos seleccionados pueden ser elegidos de nuevo.

COMBINACIONES

Una combinación es una forma en la que pueden presentarse los objetos o eventos, y en la que el orden de aparición no importa.

Multiplicación de combinaciones

En ocasiones será necesario multiplicar el resultado de varias casos para obtener el número total de combinaciones.

La probabilidad condicional se refiere al cálculo de la probabilidad de un evento, cuando se sabe que ya ocurrió otro con el cual está relacionado.

Diagramas de Venn.

Un diagrama de Venn es una figura que representa, por medio de círculos, uno o más conjuntos dentro de un rectángulo conocido como conjunto universo. Estos diagramas en
ocasiones nos ayudarán a entender o resolver problemas con mayor facilidad.

Tipos de probabilidad.

simple

Cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder

EJEMPLO

Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?Solución:

Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)
68 ÷ 87 = 0.781609
Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78.

compuesta

Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos.

EJEMPLO

Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabiliidad de:
1.Sea roja. p(roja)= 8/ 20 = 0.4
2. Sea verde. p(verde)= 7/20 = 0.35
3.Sea amarilla. p(amarilla)= 5/20 = 0.25

condicional

Ocurre cuando dos eventos o sucesos son dependientes entre si, y la ocurrencia de uno condiciona la ocurrencia del otro

EJEMPLO

P(A∩B) P(A dado B) = P(B)

Análisis de probabilidades condicionales

Una tabla que muestra la frecuencia con que se presentan todos los resultados posibles de dos variables de un mismo suceso, se conoce como tabla de contingencias, y facilita la
determinación de las probabilidades condicionales de una variable respecto a la otra.

EJEMPLO

La siguiente tabla presenta la clasificación por
color y número de puertas de los automóviles
estacionados en el patio de un centro comercial.
Calcula las probabilidades condicionales que
resulten.

La fórmula de Bayes

Anteriormente sean resuelto ejemplos de probabilidad condicional con diagramas de Venn, árboles de probabilidad y tablas de contingencia, existe la fórmula de Bayes que puede
simplificar el cálculo de las probabilidades condicionales.

EJEMPLO

Esta fórmula en su forma más sencilla, permite calcular la probabilidad de que ocurra el evento B, si se sabe que ya ocurrió el evento A.

El concepto intuitivo de probabilidad, por medio del cual una persona toma decisiones sin la certeza de que ocurran todos sus supuestos, es la base de un estudio sistemático que permite incrementar el grado de confianza que se puede tener en una decisión.

Suma y multiplicación de probabilidades

SUMA

La regla de la adición ion o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es
igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no
pueden ocurrir al mismo tiempo.

EJEMPLO

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B)

Si A y B son mutuamente excluyente.

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

Si A y B son no excluyentes.

MULTIPLICACIÓN

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o mas eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

EJEMPLO

P(AyB)= P(A B) = P(A) P(B) si A y B son independientes.

P(AyB)= P(A B) = P(A) P(B|A) si A y B son dependientes

Tipos de eventos

Un evento es el resultado posible, o un grupo de resultados posibles, de un experimento o proceso observado, y es la mínima unidad de análisis para efectos de cálculo de probabilidades.

Mutuamente excluyentes o disjuntos.

Aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo

Independientes.

Éstos no se ven afectados por otros

Dependientes.

Cuando un evento afecta la probabilidad de que suceda otro

No excluyentes entre sí.

Cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que suceda también otro

Eventos mutuamente excluyentes

Los eventos mutuamente excluyentes o disjuntos no pueden ocurrir al mismo tiempo es uno u otro.

Eventos independientes

Los eventos son independientes cuando no se ven afectados por otros.

Eventos dependientes

Cuándo un evento afecta la probabilidad de que suceda otro, se dice que uno es dependiente del otro, o que son dependientes.

Eventos dependientes

Cuando la ocurrencia de un evento no impide que suceda también otro, se dice que los eventos no son excluyentes entre sí.

Espacio muestral

El conjunto de resultados de un proceso o experimento se conoce como espacio muestral. Este concepto es fundamental para el estudio de la probabilidad, porque define todos los eventos que pueden resultar de un proceso o experimento.

Árbol de probabilidad

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados de un experimento que tiene varios pasos. Nos permite calcular la probabilidad de que ocurra un evento de una manera muy sencilla.

Esperanza matemática

Con frecuencia es conveniente calcular el promedio de los resultados de un proceso o experimento, ponderado por la probabilidad de que suceda cada uno de los resultados
posibles. A este promedio se le conoce como esperanza matemática y permite, entre otras cosas, comparar dos o más alternativas.

FORMULA

[X]=x_{1}p(X=x_{1})+...+x_{n}p(X=x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p(x_{i})\,\!}