SECCIONES CANONICAS

Se llaman cuvas cónicas a todas aquellas que se obtienen cortando un cono con un plano. Debido a su origen las curvas cónicas se llaman a veces secciones cónicas. El matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) fue el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas.

Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira. Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol.

Focos. Puntos fijos a partir de los cuales se define la curva.
Vértices. Intersección de la curva con los ejes.
Eje mayor. Segmento de la recta que contiene a los focos y delimitado por la intersección de esta con la curva.
Eje menor.
Circunferencias focales.
Circunferencia principal.

Círculo ( x – h ) 2 + ( y – k ) 2 = r 2
El centro es ( h, k ).
El radio es r .

Elipse con el eje horizontal mayor
El centro es ( h, k ).
La longitud del eje mayor es 2 a .
La longitud del eje menor es 2 b .
La distancia entre el centro y cualquier foco es c con
c 2 = a 2 – b 2 , a > b > 0.



Elipse con el eje vertical mayor
El centro es ( h, k ).
La longitud del eje mayor es 2 a .
La longitud del eje menor es 2 b .
La distancia entre el centro y cualquier foco es c con
c 2 = a 2 – b 2 , a > b > 0.



Hipérbola con el eje horizontal transversal
El centro es ( h, k ).
La distancia entre los vértices es 2 a
La distancia entre los focos es 2 c .
c 2 = a 2 + b 2


Hipérbola con el eje vertical transversal
El centro es ( h, k ).
La distancia entre los vértices es 2 a
La distancia entre los focos es 2 c .
c 2 = a 2 + b 2


Parábola con el eje horizontal ( y – k ) 2 = 4 p ( x – h ), p ≠ 0
El vértice es ( h, k ).
El foco es ( h + p, k ).
La directriz es la recta x = h – p.
El eje es la recta y = k.


Parábola con el eje vertical ( x – h ) 2 = 4 p ( y – k ), p ≠ 0
El vértice es ( h, k ).
El foco es ( h, k + p ).
La directriz es la recta y = k – p .
El eje es la recta x = h.

La circunferencia es una curva plana y cerrada tal que todos sus puntos están a igual distancia del centro. Distíngase de círculo, cuyo lugar geométrico queda determinado por una circunferencia y la región del plano que encierra esta.

Una elipse es una curva plana, simple y cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.

una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.