Sistema de Coordenados
Es el Conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen.
Tipos
Sistema de coordenadas cartesianas.
Formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones de la distancia entre el punto y el origen sobre cada uno de los ejes.
Sistema de coordenadas polares.
Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
Coordenadas cilíndricas.
Generalización del sistema de coordenadas polares plano, al que se añade un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos.
Coordenadas esféricas.
Sistema de coordenadas formado por dos ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos, los ángulos que es necesario girar sucesivamente, en planos mutuamente perpendiculares, el eje inicial para alcanzar la posición del punto.
Geometria analitica
La idea básica de la geometría analítica consiste en sustituir problemas de índole geométrico por otros de carácter algebraico, lo cual se logra mediante el empleo de ciertos recursos denominados sistemas de coordenadas.
Lugares Geometricos y Graficas de Ecuaciones
Un lugar geométrico es el punto o conjunto de puntos que satisfacen una o varias condiciones. El conjunto de los puntos, y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación, se llama gráfica de la ecuación, o bien, su lugar geométrico
Lugar Geometrico
En geometría un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que cumplen una determinada condición.
En el Plano
fEl lugar geométrico de los puntos que equidistan a otros dos puntos fijos A y B es una recta o eje de simetría de dichos dos puntos. Si los dos puntos son los dos extremos de un segmento {AB}, dicha recta, o lugar geométrico, es llamada mediatriz y es la recta que interseca perpendicularmente {AB} en su punto medio
La bisectriz es también un lugar geométrico. Dado un ángulo la bisectriz cumple la propiedad de que todos sus puntos equidistan a los lados de dicho ángulo, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.
Secciones Conicas
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto determinado, el centro, es un valor dado (el radio).
La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante equivalente a la longitud del eje mayor de la elipse.
La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta llamada directriz.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante (positiva), que equivale a la distancia entre los vértices.
En el espacio
Figuras geométricas muy complejas pueden ser descritas mediante el lugar geométrico generado por los ceros de una función o de un polinomio. Por ejemplo, las cuádricas están definidas como el lugar geométrico de los ceros de polinomios cuadráticos.
Distancia entre dos puntos del plano
ES la longitud del segmento de recta que los une, expresado numericamente. Distancia entre dos puntos. Dados dos puntos cualquiera A(x1,y1), B(x2,y2) definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa.
Utilizando el teorema de pitagoras tenemos que d[P1, P2]=(x2-x1)² +(y2-y1)²
Aplicando la raiz cuadrada en ambos lados obtenemos d[P1,P2] =√(x2-x1)² +(y2 -y1)²
Formula de distancia
La distancia entre dos puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) en un plano se detona y define por
d(p1,p2)=√(x2-x1)² + (y2-y1)²
Ejemplo 1
Encuentra la distancia entre los puntos (3,8) y ( -1,2)
P1=(3,8); P2=(-1,2)
d(P1,P2)=√(X2-X1)² + (Y2-Y1)²
D(P1,P2)=√(-1-3)² + (2-8)²
D(P1,P2)=√(-4)² + (-6)²
D(P1,P2)=√16+36 =√52 =2√13
Ejemplo 2
En un mapa el punto A tiene las coordenadas (2,-1.4) y el púnto B tiene unas coordenadas (-4.6 , 2.5). Calcule la distancia entre A y B.
Suponga que la escala es en centimetros
La distancia entre A(2,-1.4) y B(-4.6 , 2.5) es:
D=√(X2-X1)² +(Y2-Y1)²
D=√(-4.6-2)² +(2.5-(-1.4))²
=√(-6.6)² +(2.5+1.4)²
D=√(-6.6)² + (3.9)²
=√58.77
=7.67CM
Punto medio entre dos puntos del plano
Punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos. Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento.
Formula del punto medio
Dado un segmento, cuyos extremos tienen por coordenadas: A=(x1, y1) y (x2 , y2) se define y denota por: Pm (A,B)= W1+x2, y1+y2
2 2
Ejemplo 1
Encuentra el punto medio del segmento entre:
P1=(3,8) y P2=(-1,2):
PM(P1, P2)=W1+x2, y1+y2
2 2 PM(P1,P2)=W+(-1), 8+2
2 2 PM(P1, P2)=(1,5) PM=(1,5)
Ejemplo 2
La cadena de los supermercados Ortiz tuvo unas ventas anuales de $1.7 millones en 1997 y de $1.95 millones en 1999. Haga un estimado de las ventas de estos supermercado en 1998. Asumir que las ventas siguieron un patrón lineal.
Como las ventas siguieron un patrón lineal y el año 1998 esta en el medio de los años 1997 y 1999 podemos usar la fórmula de punto medio. Tenemos los puntos: (1997, 1.7) y (1999, 1.95)
(1997, 1.7) y (1999, 1.95)
PM=(1997+ 1999, 1.7+1.95)
2 2
=(1998, 1.825 millones)
Las ventas en el 1998 fueron de 1.825 millones.
Linea recta
En geometría analítica las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. ... Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
Caracteristicas de la recta
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Pendiente de una Recta
Y se calcula:
Ecuación de la Recta forma punto-pendiente
La forma punto-pendiente es una ecuación lineal, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como (y-y1)=m(x-x1) . En esta ecuación, m es la pendiente y (x1, y1) son las coordenadas del punto.
Ecuación de la recta forma pendiente intersección
La ecuación de la recta en su forma pendiente-intersección se escribe como:
y = mx + b
donde m es la pendiente y b es la intersección del eje y
Esta permite conocer Y, la pendiente y el punto donde la recta interseca al eje y
La ecuación de la recta en su forma en dos puntos
La ecuación de la recta en su forma en dos puntos se escribe como
m=y2-y1/x2-x1
Se utiliza cuando tenemos los dos puntos que forman la recta
Ecuación de la recta forma simétrica o canónica
La ecuación canónica o segmentaria de la recta, es la expresión algebraica de la recta que se determina conociendo a los valores dónde la recta corta a cada uno de los ejes coordenados. La ecuación de la recta en su forma simétrica es:
x/a + y/b= 1
donde A es la intersección con el eje de las abscisas (eje y ) y b es la intersección con el eje de las ordenadas (eje x).
Área de un triangulo
La recta formada en por el sistema de coordenadas nos da un triangulo donde la pendiente es su hipotenusa y sus catetos dependerán del eje Y y/o X
Se puede calcular de diversas formas:
Aunque su formula general es:
Área= (b . h)/2
Donde b es la base y h la altura del triangulo
Otras maneras dependiendo del triangulo son:
Triangulo Equilatero
El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales. Su área, como en todo triángulo, será un medio de la base (b) por su altura. En el triángulo equilátero viene definida por la siguiente fórmula:
Área=(√3/4) . b a la 2
Triangulo Isósceles
El área de un triángulo isósceles, como en todo triángulo, será un medio de la base (b) por su altura. En el triángulo isósceles se calcula mediante la siguiente fórmula:
Área= b . √( a2 . [ b2/4 ]) / 2
Donde a es uno de los lados iguales y b el lado irregular
triángulo escaleno
El área del triángulo escaleno puede calcularse mediante la fórmula de Herón si se conocen todos sus lados (a, b y c).
Área=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]
donde a, b y c son cada uno de los lados del triangulo y S es el semiperímetro
s=(a+b+c)/2
Aunque también se podría calcular por la formula general si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado.
Fórmula de Herón
La fórmula de Herón halla el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados. El área se calcula a partir del semiperímetro del triángulo s y de la longitud de los lados (a, b y c).
Sirve para cualquier triangulo, pero se suele utilizar para el triangulo escaleno ya que todos sus lados son diferentes
La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano), suele ser representado por la letra m y es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisa formando un ángulo con este eje
Caracteristicas
Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agud
Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas.
El caso de equidistancia a dos rectas paralelas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo
Ecuación de la recta en su forma simétrica
La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina los ejes de coordenada
La ecuación de la recta en su forma simétrica es: x/a + y/b = 1
Donde:
● a es la abscisa en el origen de la recta.
● b es la ordenada en el origen de la recta.
● El independiente de la general NO debe ser cero, significa que la forma canónica de
la recta NO describe a las rectas que pasan por el origen, ya que ahí a = b = 0
● Si A o B de la ecuación general son cero, significa que la recta es horizontal o vertical respectivamente, lo que lleva a que a o b de la ecuación canónica no existen, entonces tampoco hay forma de la ecuación canónica para este caso.
Ejemplo 1: encuentra la forma simetrica de la ecuacion de la recta y=5x− 10
Posiciones relativas entre dos rectas
Dos rectas del plano pueden ocupar una de las tres posiciones siguientes:
Coincidientes: Son dos líneas rectas que se ubican en un mismo plano, tienen todos sus puntos en común, es decir, se ubican una sobre la otra
Paralelas: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes.
Secantes: Se cortan en un punto, Esto ocurre cuando dos rectas no están en el mismo plano , pero sus proyecciones se cruzan.
Comparar las pendientes y las ordenadas en el origen de cada recta:
Distintas pendientes: Las rectas son secantes.
Igual pendiente y distinta ordenada en el origen: Las rectas son paralelas.
Igual pendiente e igual ordenada en el origen: Las rectas son coincidentes.
Las rectas paralelas:
Son aquellas líneas que mantienen una cierta distancia entre sí, y a pesar de prolongar su trayectoria hasta el infinito, nunca se encuentran o se tocan en ningún punto; es decir se entiende por rectas paralelas las que se hallan en un mismo plano, no presentan ningún punto en común y muestran la misma pendiente, o sea que no han de tocarse ni cruzarse, ni siquiera sus prolongaciones se cruzan, un claro ejemplo de esto son las vías del tren.
Se determina el valor de la abscisa al origen dando el valor de y=0
0=5x− 10 10=5x 10/5=x x=2 a=2
Se determina el valor de la ordenada al origen, dando el valor de x=0
y= 5(0)−10 y= 0−10 y=−10 b=−10
Se sustituyen estos valores en la ecuación x/a + y/b = 1 x/2 − y/10=1
Ejemplo 2: Encuentra la forma simétrica de la ecuación de la recta y=2x− 12
Se determina el valor de la abscisa al origen,
dando el valor de y=0 0= 2x−12 12=2x
12/2=x x=6 a=6
Se determina el valor de la ordenada al origen dando el valor de x=0 y=2(0)−12 y= 0−12 y= −12 b=−12
Se sustituyen estos valores en la ecuación
x/a + y/b= 1 x/6 − y/12= 1
Ecuación general de la recta
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta. Para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un Plano cartesiano), con Abscisas (x) y Ordenadas (y).
Es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano. Conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación: Ax + By + C = 0, y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta.
Donde: A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ecuación general de primer grado en las variables x e y.
En la que A y B no pueden ser nulos a la vez. La ecuación general se debe presentar de forma que A sea positiva.
Ejemplo: 1.Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (5,-2) y B (2,4).
1.Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (5,-2) y B (2,4).
Sabemos que con dos puntos es suficiente para calcular la ecuación de la recta. En primer lugar procedemos a calcular la pendiente.
Llamamos al punto B ( x2=2 ,y2=4) y al punto A (x1=5,y1=-2)
M= (y2-y1) / (x2-x1) = 4-(-2) /2-5 = 6/-3= -2
Ya tenemos la pendiente m= -2
Ahora sólo necesitamos un punto, por ejemplo, el A (xo=5,y0=-2) y lo sustituimos en la siguiente ecuación junto a la pendiente.
(y-y0)= m. (x-xo)
(y-(-2))= -2. (x-5)
Y despejamos,
y= -2x+10-2= -2x+8
Nuestra recta es y=-2x+8