Taha capítulos 3 y 4

MODELO DE PL EN FORMA DE ECUACIÓN

El desarrollo de los cálculos con el método simplex se facilita si se imponen dos requerimientos
a las restricciones de programación lineal.

1. Todas las restricciones son ecuaciones con lado derecho no negativo.

2. Todas las variabzzles son no negativas.

TRANSICIÓN DE LA SOLUCIÓN GRÁFICA A LA ALGEBRAICA

En el método gráfico el espacio de soluciones es la intersección de los semiplanos
que representan las restricciones, y en el método simplex, el espacio de soluciones está
representado por m ecuaciones lineales simultáneas y n variables no negativas.

MÉTODO SIMPLEX

En lugar de enumerar todas las soluciones básicas (puntos de esquina) del problema
de PL , el método simplex investiga sólo “algunas” de
estas soluciones.

SOLUCIÓN ARTIFICIAL INICIAL

El procedimiento para iniciar PLs de “mal comportamiento” con restricciones
(5) y ($) es utilizar variables artificiales que desempeñan el papel de holguras en la
primera iteración, y que luego se desechan en una iteración posterior. Aquí se presentan

dos métodos estrechamente relacionados: el método M, y el método de dos fases.

Método M

El método M se inicia con la PL en forma de ecuación . Si la ecuación i no
tiene una holgura (o una variable que pueda desempeñar el papel de una), se agrega
una variable artificial, Ri, para formar una solución inicial parecida a la solución básica
de total holgura. Sin embargo, las variables artificiales no forman parte del problema
original, y se requiere un “artificio” de modelado para igualarlas a cero en el momento
en que se alcance la iteración óptima (suponiendo que el problema tenga una solución
factible).

CASOS ESPECIALES EN EL MÉTODO SIMPLEX

Esta sección considera cuatro casos especiales que surgen al aplicar el método simplex.
1. Degeneración
2. Óptimos alternativos

3. Soluciones no acotadas

4. Soluciones no existentes (o no factibles)

Para concluir esta sección se presenta una explicación teórica de tales situaciones,e incluso se interpreta el significado de estos casos especiales tomando como tema un
problema de la vida real.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

En PL, los parámetros (datos de entrada) del modelo pueden cambiar dentro de ciertos
límites sin que cambie la solución óptima. Esto se conoce como análisis de sensibilidad
y será el tema de esta sección. Más adelante, en el capítulo 4 estudiaremos el análisis post óptimo, el cual tiene que ver con la determinación de la nueva solución óptima
cuando se cambian ciertos datos de entrada.

El problema dual se define sistemáticamente a partir del modelo de PL primal (u original).
Los dos problemas están estrechamente relacionados en el sentido de que la solución
óptima de uno proporciona automáticamente la solución óptima al otro.

Los cambios realizados en los datos de un modelo de PL pueden afectar la optimalidad
y/o factibilidad de la solución óptima actual. Esta sección presenta varias relaciones
primal-dual que pueden usarse para calcular de nuevo los elementos de la tabla simplex
óptima. Estas relaciones constituyen la base de la interpretación económica del
modelo de PL y del análisis postóptimo.

El problema de PL puede considerarse como un modelo de asignación de recursos que
busca maximizar los ingresos con recursos limitados. Considerando el problema desde
este punto de vista, el problema dual asociado ofrece interesantes interpretaciones
económicas del modelo de asignación de recursos.

El capítulo 3 presenta el algoritmo simplex (primal) que se inicia siendo factible y continúa
siéndolo hasta que se alcanza el óptimo. Esta sección presenta dos algoritmos, el
simplex dual que se inicia como no factible (pero mejor que óptimo) y así permanece
hasta que se restaura la factiblidad, y el simplex generalizado, que combina los métodos
simplex primal y dual, los cuales se inician sin ser ni óptimos ni factibles.

En la sección 3.6 nos ocupamos de la sensibilidad de la solución óptima al determinar
los intervalos de los diferentes parámetros de PL que mantendrían las variables básicas
óptimas sin cambiar. En esta sección nos ocuparemos de los cambios de los parámetros
del modelo y de la determinación de la nueva solución óptima. Considere, por ejemplo,
un caso en la industria avícola, donde comúnmente se utiliza un modelo de programación
lineal para determinar la mezcla de alimentos óptima por pollo (vea el ejemplo 2.2-2).
El consumo semanal por pollo varía de .26 lb (120 gramos) para un pollo de una semana
de edad hasta 2.1 lb (950 gramos) para un pollo de ocho semanas de edad. Además,
el costo de los ingredientes en la mezcla puede cambiar periódicamente. Estos cambios
requieren un nuevo cálculo periódico de la solución óptima. El análisis postóptimo determina
la nueva solución de una manera eficiente.