MATEMÁTICA

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Exercícios Resolvidos

Questão 3 - Enem 2017

Questão 2 - Enem PPL 2015

Questão 1 - Enem 2015

Resolução

Uma função $f$ de domínio $D$ é periódica se existe um real $p>0$ tal que $f(x+p)=f(x)$,$\forall x\in D$.

Nessas condições, o menor valor de $p$ para que isso ocorra é chamada período de $f$.

Exemplo

Por exemplo, a função $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N} \mid f(x)=(-1)^x$ é uma função periódica, pois:

• Se $x$ é par, $f(x)=1$.
• Se $x$ é ímpar, $f(x)=-1$.

MATEMÁTICA

Funções

Funções Circulares

Função Tangente

A função tangente, como já vimos na definição, em sua forma mais primitiva é dada por $f(x)=tg(x)$ .

Porém esta função também pode apresentar parâmetros que alteram a sua estrutura e modificam o gráfico.

Considerando a função $f(x)=a+b.tg(c.x+d)$ , onde temos os parâmetros $a, b, c, d.$

• O parâmetro $a$ é responsável pelo deslocamento vertical do gráfico.
• O parâmetro $b$ é a amplitude da curva.
• O parâmetro $c$ influência no período da função, vale destacar também que o período $p$ da função tangente pode ser calculado por $p=\frac{\pi}{\mid c \mid}$.
• O parâmetro $d$ é responsável pelo deslocamento horizontal do gráfico.

Denominamos função tangente a função$f:D \to \mathbb{R}$ que associa a cada número real $x \in D$ o número real $tg(x)$; isto é, $f(x)=tg(x)$.

Onde temos:

• O domínio $D=\left \{ x \in \mathbb{R} \mid x \ne \frac{\pi}{2} +k\pi, k \in \mathbb{Z} \right \}$
• O conjunto imagem dado por $Im=\mathbb{R}$
• A função $f(x)=tg(x)$ é ímpar, pois $f(-x)=-f(x)$ para todo $x$ do domínio
• Destaca-se também que não existe $tg(\frac{\pi}{2} + k\pi)$, $\forall k \in \mathbb{Z}$. Dessa forma ocorrem "interrupções" no gráfico

Função Cosseno

A função cosseno, como já vimos na definição, em sua forma mais primitiva é dada por $f(x)=cos(x)$.

Porém esta função também pode apresentar parâmetros que alteram a sua estrutura e modificam o gráfico.

Considerando a função $f(x)=a+b.cos(c.x+d)$, onde temos os parâmetros $a, b, c, d.$

• O parâmetro $a$ é responsável pelo deslocamento vertical do gráfico.
• O parâmetro $b$ é a amplitude da curva.
• O parâmetro $c$ influência no período da função, vale destacar também que o período $p$ da função cosseno pode ser calculado por $p=\frac{2.\pi}{\mid c \mid}$.
• O parâmetro $d$ é responsável pelo deslocamento horizontal do gráfico.

Denominamos função cosseno a função$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que associa a cada número real $x$ o número real $cos(x)$, isto é, $f(x)=cos(x)$.

• O domínio e o contradomínio de $f(x)$ são iguais a $\mathbb{R}$
• O conjunto imagem é dado por:$Im=\left \{ y \in \mathbb{R} \mid -1 \le y \le 1 \right \}$
• A função$f(x)=cos(x)$ é uma função par, pois $cos(-x)=cos(x)$, $\forall x \in \mathbb{R}$

Função Seno

Traçado do Gráfico

Parâmetros

A função seno, como já vimos na definição, na sua forma mais primitiva é dada por $f(x) = sen(x)$.

Porém esta função pode apresentar também parâmetros que alteram a sua estrutura e modificam o gráfico.

Considerando a função $f(x) = a + b.sen(c.x+d)$, onde temos os parâmetros $a, b, c, d.$

• O parâmetro $a$ é responsável pelo deslocamento vertical do gráfico.
• O parâmetro $b$ é a amplitude da curva.
• O parâmetro $c$ influência no período da função, vale destacar também que o período $p$ da função seno pode ser calculado por $p=\frac{2.\pi}{\mid c \mid}$.
• O parâmetro $d$ é responsável pelo deslocamento horizontal do gráfico.

Definição

Denominamos função seno a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que associa a cada número real $x$ o número real $sen(x)$, isto é, $f(x) = sen(x)$.

• O domínio e o contradomínio de $f(x)$ são iguais a $\mathbb{R}$
• O conjunto imagem é dado por:$Im = \left \{y \in \mathbb{R} \mid -1 \le y \le 1 \right \}$
• A função $f(x) = sen(x)$ é uma função ímpar, pois $sen(-x) = -sen(x)$,$\forall x\in \mathbb{R}$

Funções Periódicas