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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

POSICIONES RELATIVAS

Posiciones relativas de dos rectas en el espacio

rg (M ) = 3 ≠ rg (M *) = 4 ⇒ S.I.

las dos rectas se cruzan

vectores directores no son proporcionales

rg (M ) = rg (M *) = 3 ⇒ S.C.D.

intersección un punto

rectas secantes

rectas paralelas

vectores directores proporcionales

sólo dos de las ecuaciones son linealmente independientes

rectas coincidentes

sistema formado por cuatro ecuaciones

ecuaciones implicitas

A"x+B"y+C"z+D"=0 A"x+B"y+C"z+D"=0

Posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio

Si rg (M ) = rg (M *) = 3 ⇒ S.C.D.

recta y plano se cortan en un punto

secantes

recta y plano no se cortan

paralelos

rg (M ) = rg (M *) = 2 ⇒ S.C.I.

recta contenida en un plano

sistema formado por las ecuaciones de la recta y el plano

ecuaciones implícitas y un plano π

Posiciones relativas de tres planos en el espacio

rg(M ) = rg(M *) = 3 ⇒ S.C.D.

los tres planos se cortan en un punto

única solución

rg (M ) = 2 ≠ rg (M *) = 3 ⇒ S.I.

ninguno de los planos es paralelo al otro

se cortan dos a dos y definen un prisma sin bases

dos de los planos son paralelos

cortan al tercero

no hay ecuaciones proporcionales

los tres planos se cortarán en una recta

dos de las ecuaciones son proporcionales

dos planos coincidentes que cortan al tercero

ninguna de las ecuaciones es proporcional

tres planos paralelos

dos ecuaciones son proporcionales y la otra no

Rg=1

plano no coincidente

el término D no es proporcional a los otros dos

vectores ortogonales proporcionales

dos planos coincidentes y paralelos al tercero

rg (M ) = rg (M *) = 1 < no incógnitas ⇒ S.C.I.

Rg=1 si las tres filas de M y * M son proporcionales

tres planos coincidentes

ecuaciones proporcionales

Ax+By+Cz+D=0 A'x+B'y+C'z+D'=0 A"x+B"y+C"z+D"=0

sean los planos π, π' y π"

π":A"x+B"y+C"z+D"=0

Posiciones relativas de dos planos en el espacio

rango de M y M*

rg (M ) = rg (M *) = 2 < no incógnitas ⇒ S.C.I.

su intersección es una recta

planos secantes

rg (M ) = 1 ≠ rg (M *) = 2 ⇒ S.I.

RgM=1 si las filas son proporcionales

planos paralelos

no tiene solución

rg (M ) = rg (M *) = 1 < nº incógnitas⇒ S.C.I.

Rg=1 si las dos filas de M y * M son proporcionales

simplificando una de las ecuaciones puede obtenerse la otra

planos coincidentes

infinitas soluciones

M*

matriz ampliada con los términos independientes

M

matriz de coeficientes

sistema formado por ambas ecuaciones

Ax+By+Cz+D=0 A'x+B'y+C'z+D'=0

sean los planos π y π'

π':A'x+B'y+C'z+D'=0

π: Ax+By+Cz+D=0

ECUACIONES DEL PLANO EN EL ESPACIO

Ecuación general del plano

vector normal del plano

n=(A,B,C)

perpendicular al plano

π:Ax+By+C+D=0

Ax+By+C+D=0

desarrollando la matriz se obtienen cuatro valores reales

Si el Rg=2

determinante de la matriz=0

no será posible encontrar un menor de orden 3 no nulo

sólo dos de los tres vectores son linealmente independientes

Ecuaciones paramétricas del plano

x=x0+λ·u1+μ·v1 y=y0+λ·u2+μ·v2 z=z0+λ·u3+μ·v3

Ecuación vectorial del plano

(x,y,z)=(x0,y0,z0)+λ·(u1,u2,u3)+μ·(v1,v2,v3)

vector OP+λ·u+μ·v

el extremo es un punto del plano π

determinado por

dos vectores directores (u) y (v)

LA RECTA EN EL ESPACIO

Ecuaciones implícitas o cartesianas

Ax+By+C=0 A'x+B'z+C=0

separando las igualdades y agrupando todos los términos en un mismo miembro

Ecuación continua

t= x-x0/v1=y-y0/v2=z-z0/v3

despejando t e igualando

Ecuaciones paramétricas

x=x0+t·v1 y=y0+t·v2 z=z0+t·v3

igualando coordenada a coordenada

Ecuación vectorial

(x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(v1,v2,v3)

vector OP+t·v

extremo es un punto de la recta r

origen en O

vector

director (V)

de posición (OP)

determinada por

un vector (V)

un punto (P)