Cálculo Diferencial e integral 2

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Cálculo Diferencial e integral 2

PRIMITIVAS

“Seja 𝑓 uma função definida num intervalo real 𝐼 = [𝑎, 𝑏]. Uma primitiva (ou antiderivada) de 𝑓 em 𝐼 é uma função 𝐹 definida em 𝐼 onde F'(x)=f(x) para qualquer 𝑥 ∈ 𝐼". Isto significa que seja uma função , e a função , então 𝐹 é primitiva de 𝑓 se a derivada de 𝐹 for igual a 𝑓.

Primitiva é a relação inversa da derivada. Por exemplo, sabemos que a derivada de x 2 x^2 x2 é 2 x 2x 2x . Isso significa que uma primitiva de 2 x 2x 2x é x 2 x^2 x2 . Cada função tem uma família de primitivas.

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Essa técnica é mais útil quando temos um produto de funções diferentes, como por exemplo, logaritmo multiplicado por função trigonométrica, exponencial multiplicada por polinômio, e assim por diante, sendo uma delas fácil de integrar e a outra mais fácil de derivar.

Existem 2 métodos para se calcular uma integral definida por substituição. Um deles consiste em se calcular a integral indefinida e então usar o TFC2. O outro método, usualmente preferível, consiste em mudar os limites de integração ao se variar a variável.

INTEGRAL INDEFINIDA

F(x) = x2 é uma antiderivada (primitiva) de f(x) = 2x, pois F '(x) = 2x. F(x) = x2 + 7 é uma antiderivada (primitiva) de f(x) = 2x, pois F '(x) = 2x. F(x) = x2 + ½ é uma antiderivada (primitiva) de f(x) = 2x, pois F '(x) = 2x.

A integral definida de uma função f(x), num intervalo [a,b] é igual à área entre a curva de f(x) e o eixo dos x. e pelo eixo x. que é o mesmo resultado obtido por integração. (x2 – 2x + 8), entre x = -2 e x = 4.

Na Geometria, além do cálculo de áreas sob curvas como já vimos, podemos usar a Integral Definida para calcular comprimento de arcos e volumes; na Física, para calcular o trabalho realizado por uma força, momento, centros de massa e momento de inércia, além de várias outras aplicações.

A integral indefinida é aquela que não possui intervalos de integração e por isso ela não representa a área sobre uma curva.

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Calcular R x sen x dx. Solu¸c˜ao. Tomaremos u = x, e dv = sen x dx. Teremos du = 1 dx = dx, e v = R sen x dx. Para os prop´ositos da integra¸c˜ao por partes, basta tomar v = − cos x, menosprezando a constante arbitr´aria da integral v = R sen x dx, pois uma tal escolha da fun¸c˜ao v ´e suficiente para validar a f´ormula 16.2. Temos ent˜ao Z x sen x dx = Z u · dv = u · v − Z v · du = x · (− cos x) − Z (− cos x) dx = −x cos x + Z cos x dx = −x cos x + sen x + C

No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A integração por partes é uma técnica de integração utilizada para integrar um produto de funções. Essa técnica é mais útil quando temos um produto de funções diferentes, como por exemplo, logaritmo multiplicado por função trigonométrica, exponencial multiplicada por polinômio, e assim por diante, sendo uma delas fácil de integrar e a outra mais fácil de derivar.

Passo 1: Decidir quem Vai ser e quem vai ser Ver mais. PASSO 2: Calcular , derivando a função Ver mais. PASSO 3: Calcular integrando a função Ver mais. PASSO 4: Aplicar a fórmula de integração por partes Ver mais. PASSO 5: Calcular a integral Ver mais.