I RADICALI

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I radicali

Equazioni con coefficenti irrazionali

È possibile risolvere equazioni, sistemi e disequazioni a coefficienti irrazionali utilizzando le proprietà dei radicali.

Razionalizzazione del denominatore di una frazione

È possibile razionalizzare il denominatore (in cui compaiono radicali) di una frazione, moltiplicando numeratore e denominatore per un opportuno fattore diverso da 0.

I casi più comuni: • Il denominatore è un unico radicale quadratico: si moltiplicano numeratore e denominatore per il radicale. • Al denominatore è presente un radicale non quadratico del tipo radice n-esima di a alevato a m: si moltiplicano numeratore e denominatore per radice ennesima di a con esponente n-m, con a≥0 e m≥n. • Il denominatore è la somma o la differenza di due termini dei quali almeno uno è un radicale quadratico: si sfrutta il prodotto notevole differenza di due quadrati. • Il denominatore è la somma o la differenza di due radicali cubici: si sfrutta il prodotto notevole somma o differenza di due cubi.

Potenze con esponente razionale

È possibile scrivere i radicali sotto forma di potenze con esponenti razionali. La radice n-esima di a^m è uguale alla potenza con esponente razionale m/n, con a≥0. Anche per le potenze con esponente razionale valgono le proprietà delle potenze con esponente intero.

La potenza

La potenza m-esima di un radicale con radicando positivo o nullo è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando la potenza m-esima del radicando.

Trasporto di un fattore fuori o dentro dal segno di una radice

Un fattore non negativo può essere portato dentro il segno di radice, diventando fattore del radicando, se lo si eleva alla potenza che ha per esponente l’indice del radicale. (se a≥0)

Un fattore del radicando, scritto sotto forma di potenza con base non negativa, può essere portato fuori dal segno di radice, se il suo esponente m è maggiore o uguale all’indice n della radice. Il fattore esterno ha per esponente il quoziente della divisione fra m e n, quello interno ha per esponente il resto della divisione. Con a≥0, m≥n.

Addizione

Due radicali irriducibili sono simili se hanno lo stesso indice e lo stesso radicando. La somma di due radicali simili è un radicale simile ai radicali dati, avente per coefficiente la somma dei loro coefficienti.

Divisione

Teorema del quoziente: Il quoziente di due radicali con lo stesso indice, il primo con radicando positivo o nullo e il secondo con radicando positivo, è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi. con a e b reali, a≥0, b≥0, e n naturale, n≠0.

Moltiplicazione

Il prodotto di due radicali con lo stesso indice e con radicando positivo o nullo è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi. con a e b reali, a≥0, b≥0, e n naturale, n≠0.

Letterali

Nel caso in cui i radicali siano espressioni letterali, il radicale semplificato deve soddisfare le stesse condizioni di esistenza del radicale iniziale e avere lo stesso segno. Perché queste due condizioni siano vere, utilizziamo, quando necessario, il valore assoluto delle espressioni del radicando.

La radice

La radice m-esima di un radicale con radicando positivo o nullo e di indice n è un radicale che ha per indice il prodotto degli indici m*n e per radicando lo stesso radicando.

Riduzione

Per ridurre un radicale a uno stesso indice occorre calcolare il mcm fra gli indici e poi trasformare ogni radicale in uno equivalente che ha per indice il mcm trovato.

Confronto

È possibile confrontare due radicali. Se i radicali hanno lo stesso indice è maggiore quello che ha radicando maggiore. Se i radicali non hanno lo stesso indice si possono confrontare considerando radicali equivalenti con lo stesso indice.

Radicale irriducibile

Un radicale si dice irriducibile (non semplificabile) quando il suo indice e l’esponente del radicando, scomposto in fattori primi, sono primi fra loro.

Semplificazione

Dato un radicale, si può ottenere un radicale equivalente dividendo l’indice della radice e l’esponente del radicando per un divisore comune.

Numero irrazionale

Chiamiamo numero irrazionale ogni numero che può essere rappresentato da un numero decimale illimitato non periodico.

Numero reale

Chiamiamo numero reale ogni nume‑ ro che sia razionale o irrazionale e in‑ dichiamo con R l’insieme dei numeri reali.

La radice quadrata

La radice quadrata è definita come l’operazione inversa dell’elevamento a potenza con esponente 2.

La radice quadrata di un numero reale a≥0 è il numero b≥0 che elevato al quadrato dà a. b=√a ↔ b^2=a, con a≥0, b≥0.

Sottoargomento

La radice cubica

La radice cubica di un numero a qualsiasi è il numero b che elevato al cubo dà a. b=∛a ↔ b^3=a, Ɐa,bϵR

La radice n-esima

La radice n-esima di un numero reale a, con n numero naturale e n≠0 • se a≥0, è il numero reale b≥0 la cui potenza con esponente n è uguale ad a; • se a<0 e n dispari, è il numero reale b<0 la cui potenza con esponente n è uguale ad a; • se a<0 e n pari, non esiste.

Proprietà

Invariantiva

Considerato un radicale il cui radicando è positivo o nullo, se moltiplichiamo l’indice del radicale e l’esponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da 0, otteniamo un radicale equivalente. Con a≥0 e m, n, pϵN - {0}