Funciones reales de variable real, gráficas.
Unos ejes de coordenadas lo forman dos ejes perpendiculares entre sí, que se cortan en el origen.
El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.
El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas
Sistema de coordenadas
Tipos de coordenadas
Sistema de coordenadas cartesianas.
Sistema de coordenadas polares.
Sistema de coordenadas log-polares.
Sistema de coordenadas cilíndricas.
Sistema de coordenadas esféricas.
Coordenadas geográficas.
Coordenadas curvilíneas generales.
Coordenadas curvilíneas ortogonales.
Se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen
Conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo.
Distancia entre dos puntos
Formula: d=√(X2-X1)^2 + (Y2-Y1)^2
d=√(4-7)^2 + (1-5)^2
d=√(-3)^2 +(-4)^2
d=√9+16
d=√25
d=5 unidades
La distancia entre dos puntos equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente.
PENDIENTE DE RECTA ENTRE DOS PUNTOS
Punto pendiente de la recta: Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como . En ésta ecuación, m es la pendiente y (x1, y1) son las coordenadas del punto.
La pendiente de una recta es una medida de la inclinación de una recta cuando la ubicamos en un par de ejes coordenados (x – y).
Formula de : A(X1, Y1) B(X2, Y2)
m= Y2-Y1 ÷ X2-X1
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA
Punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
Formula: xc = xa + xb yc = ya + yb
2 2
Función:f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x).
Funciones inversas:
Se llama función inversa o reciproca de f(x) a otra función f^-1 (x) que cumple que:
Si f(a)=b , entonces f^-1 (b)=a
Veamos un ejemplo a partir de la función f(x)=x+4
Composición de funciones: La composición es una operación entre funciones que se establece de la siguiente manera:
Dadas dos funciones f y g, se define como la composición de la función f con la función g, a la función denotada f o g (léase f composición g), cuya regla de correspondencia es:
Un ejemplo sería: f(x) = 3x y g(x) = x + 1
Donde su dominio está representado por el conjunto.
Para visualizar mejor cómo se obtiene el dominio y el recorrido de la función composición f o g, recurramos a su representación en un diagrama de Venn.
Podemos ver que el D f o g (dominio de f o g) lo formarán aquellos elementos del g para los cuales, al sustituirlos en la función g, el resultado pertenece al conjunto Rg ∩ Df..
Ejemplo: Si f(x)=x2-1 y g(x)=-(x+1)^(1/2)
Propiedades de la composición de funciones:
1. Asociativa
f o (g o h) = (f o g) o h
2. No es conmutativa
f o g ≠ g o f
3. El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x.
f o i = i o f = f
Ejercicios:
f(x) = 3x-5, g(x)= x2+2x , h(x)=√(x+2) , k(x)= 3/x-8
1. (f o g)(x)= 3(x2+2x)-5
=3x2+6x-5
R=3x2+6x-5
2. (g o f)(x)= (3x-5)2 + 2(3x-5)
= 9x2-60x +25 + 6x -10 (simplificamos en términos iguales)
=9x2 -54x +15
R=9x2 -54x +15
3.(h o k)(x)= √(3/(x-8 )+2
R= √(3/(x-8 )+2 (ya no se puede simplificar más, hasta ahí queda el resultado)
4. (f o k) (x)=3(3/x-8)-5
=9/x-24-5
=9/x-29
Operaciones con funciones:Ejemplo :
Digamos que f ( x ) = 2 x + 1 y g ( x ) = x 2 – 4.
Encuentre ( f + g )( x ), ( f – g )( x ), ( fg )( x ) y .
( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
= (2 x + 1) + ( x 2 – 4)
= x 2 + 2 x – 3
( f – g )( x ) = f ( x ) – g ( x )
= (2 x + 1) – ( x 2 – 4)
= – x 2 + 2 x + 5
( fg )( x ) = f ( x ) × g ( x )
= (2 x + 1)( x 2 – 4)
= 2 x ^3 + x ^2 – 8 x – 4
Gráfica de funciones algebraicas y funciones especiales
Se presenta de está forma: f(x)
Dominio y Rango
El dominio de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma.
Clases de funciones: Función polinómica
Función constante
Función polinómica de primer grado
Función afín
Función lineal
Función identidad
Función cuadrática
Función cúbica
Función racional
Función de proporcionalidad inversa
Función radical
Función inversa
Funciones trascendentes
Función exponencial
Función potencial exponencial
Función logarítmica
Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas inversas
Funciones definidas a trozos
Función derivada
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Función inyectiva
Función sobreyectiva
Función biyectiva
Funciones explícitas e implícitas
Función valor absoluto
Circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan a otro punto llamado centro.
