Transformaciones y distribuciones
muestrales

Definición´ . (Muestra aleatoria). Una muestra aleatoria es una
colección de variables aleatorias X1,...,Xn, que cumplen la condición
de ser independientes y de tener cada una de ellas la misma distribución.
Al numero n se le llama tamaño de la muestra aleatoria.

Definición´ . (Estadística). Una estadística es una variable aleatoria
de la forma g(X1,...,Xn), en donde X1,...,Xn es una muestra aleatoria, y g : Rn → R es una función Boral medible

Ejemplo: cuartil, varianza, moda, media...

Distribución ji-cuadrada. ´ La variable aleatoria continua X tiene una
distribución ji-cuadrada con n > 0 grados de libertad
En este caso se escribe X ∼ χ2(n). El terminó χ2 se lee ji-cuadrada. La
grafica de esta función de densidad s

Definición 2.9.- Si X es una variable aleatoria con función de distribución acumulada 𝐹_𝑋. La función generatriz de momentos (fgm) de X, denotada por 𝑀_𝑋 (𝑡) , es
𝑀_𝑋 (𝑡)=𝐸𝑒^𝑡𝑋
siempre que la esperanza exista para t en alguna vecindad de 0. Esto es, si hay un ℎ>0 tal que, para todo t en –ℎ<𝑡<ℎ, 𝐸𝑒^𝑡𝑋 exista. Si la esperanza no existe en una vecindad de 0, decimos que la función generatriz no existe.

Teorema 2.10.- Si X y Y son variables aleatorias independientes con funciones generatriz de momentos 𝑀_𝑋 (𝑡) y 𝑀_𝑌 (𝑡). Entonces la función generatriz de momentos de la variable aleatoria 𝑍=𝑋+𝑌 esta dada por

𝑀_𝑍 (𝑡)=𝑀_𝑋 (𝑡) 𝑀_𝑌 (𝑡)

Propiedades:
1. La n-derivada de la función generatriz de momentos 𝑀(𝑡) es
𝑀_𝑋^𝑛 (𝑡)=𝑑/(𝑑𝑡^𝑛 ) 𝐸(𝑒^𝑡𝑋 )=𝐸(𝑑/(𝑑𝑡^𝑛 ) 𝑒^𝑡𝑋 )=𝐸(𝑋^𝑛 𝑒^𝑡𝑋 )
2. La n-derivada de la función generatriz de momentos evaluada en 𝑡=0 es
𝑀^𝑛 (0)=𝐸(𝑋^𝑛 )

Proposición´ . Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con función
de densidad fX,Y (x, y). Entonces X + Y tiene función de densidad
fX+Y (u) ='INTEGRAL DE(∞−∞)fX,Y (u + v, v) dv.

Proposicion´ . Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con funci´on
de densidad fX,Y (x, y). Entonces X + Y tiene funci´on de densidad
fX+Y (u) = INTEGRAL DE(' ∞−∞)fX,Y (u − v, v) dv.

Proposición´ . Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con función
de densidad fX,Y (x, y). Entonces XY tiene función de densidad
fXY (u) = INTEGRAL DE(∞ −∞ )fX,Y (u/v, v) |1/v| dv.

Proposición´ . Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con función
de densidad fX,Y (x, y) y tal que Y ̸= 0. Entonces X/Y tiene función de
densidad
fX/Y (u) = INTEGRAL DE (∞−∞)fX,Y (uv, v)|v| dv

Teorema de cambio de variable 1. Sea X una variable aleatoria
continua con valores dentro de un intervalo (a, b) ⊆ R, y con funci´on de
densidad fX(x). Sea ϕ : (a, b) → R una funci´on continua, estrictamente
creciente o decreciente, y con inversa diferenciable. Entonces la variable
aleatoria Y = ϕ(X) toma valores dentro del intervalo ϕ(a, b), y tiene
funcion de densidad

fY (y) = fX(ϕ−1(y)) |d/dyϕ−1(y)| para y ∈ ϕ(a, b),
0 otro caso

Teorema de cambio de variable 2. Sea X una variable aleatoria
continua con valores dentro de un intervalo (a, c) ⊆ R, y con función
de densidad fX(x). Sea ϕ : (a, c) → R una función tal que admite la descomposición
ϕ(x) = & ϕ1(x) si x ∈ (a, b),
ϕ2(x) si x ∈ (b, c),
en donde a<b<c, y cada una de las funciones ϕ1(x):(a, b) → R y
ϕ2(x):(b, c) → R es continua, estrictamente creciente o decreciente, y
con inversa diferenciable. Entonces la variable aleatoria Y = ϕ(X) toma
valores dentro del intervalo ϕ(a, c), y tiene función de densidad
fY (y) = fX(ϕ−11 (y)) | d/dyϕ−11 (y)| · 1ϕ1(a,b)(y)
+ fX(ϕ−1 2 (y)) | d/dyϕ−1 2 (y)| · 1ϕ2(b,c)(y).

Teorema de cambio de variable 3. Sea (X, Y ) un vector continuo con valores en I ⊆ R2, y con función de densidad fX,Y (x, y). Sea
ϕ(x, y) : I → R2 una función continua con inversa ϕ−1(u, v) diferenciable. Entonces el vector (U, V ) = ϕ(X, Y ) toma valores en ϕ(I) y tiene
función de densidad
fU,V (u, v) = 2 fX,Y (ϕ−1(u, v)) |J(u, v)| para (u, v) ∈ ϕ(I),
0 otro caso