ТРИКУТНИК

Plus de détails

Трикутник і його елементи

par Наталія Галан

Інформація. Дії з інформацією

par Юрій Столяренко

Числа

par Viktor Bondar

Типи трикутників

par Ира Шаповал

Трикутник

Трикутник

Трикутник — це фігура, що складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, та трьох відрізків, які сполучають попарно ці точки. Відрізки називають сторонами трикутника, а точки — вершинами трикутника. Кути трикутника, іноді називають внутрішніми кутами трикутника. Кут, суміжний до внутрішнього кута трикутника називають зовнішнім кутом трикутника.

Властивості:

У будь-якому трикутнику:

1. сума градусних мір кутів трикутника дорівнює $180^\circ$;
2. серед внутрішніх кутів принаймні два — гострі;
3. градусна міра зовнішнього кута дорівнює сумі градусних мір двох внутрішніх кутів цього трикутника, не суміжних з ним;
4. зовнішній кут трикутника більший за кожний із кутів трикутника, не суміжних з ним;
5. кожна сторона менша, ніж сума двох інших його сторін;
6. навпроти більшої сторони лежить більший кут;
7. навпроти більшого кута лежить більша сторона;
8. серединні перпендикуляри усіх сторін перетинаються в одній точці (центрі описаного навколо трикутника кола);
9. бісектриса ділить сторону, до якої проведена, на відрізки, пропорційні прилеглим до неї сторонам;
10. усі бісектриси перетинаються в одній точці (центрі вписаного в трикутник кола);
11. усі медіани перетинаються в одній точці, яка ділить кожну із них у відношенні $2:1$, рахуючи від вершини трикутника;
12. усі висоти перетинаються в одній точці.

Описане коло

Описане коло

Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі його вершини.

Властивості:

1. Навколо будь-якого трикутника можна описати коло.
2. Центр кола, описаного навколо трикутника, лежить на перетині серединних перпендикулярів сторін трикутника.

Формули радіуса кола, описаного навколо трикутника:

$R=\dfrac{abc}{4S}$;

$R=\dfrac{a}{2\sin{\alpha}}$ , $R=\dfrac{b}{2\sin{\beta}}$ , $R=\dfrac{c}{2\sin{\gamma}}$ .

Вписане коло

Вписане коло

Коло називають вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх сторін цього трикутника.

Властивості:

1. У будь-який трикутник можна вписати коло.
2. Центр кола, вписаного в трикутник, лежить на перетині бісектрис цього трикутника.

Формула радіуса кола, вписаного в трикутник:

$r=\dfrac{S}{p}$.

Основні поняття

Чудовими лініями трикутника називають такі відрізки: висота, медіана, бісектриса.

Площа трикутника

Площа трикутника

За стороною та висотою

Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони трикутника та висоти, проведеної до цієї сторони.

$S=\dfrac{1}{2}ah_a$ , $S=\dfrac{1}{2}bh_b$ , $S=\dfrac{1}{2}ch_c$ .

За двома сторонами, та кутом між ними

Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін та синуса кута між ними.

$S=\dfrac{1}{2}ab\sin{\gamma}$ , $S=\dfrac{1}{2}bc\sin{\alpha}$ , $S=\dfrac{1}{2}ac\sin{\beta}$ .

За трьома сторонами (Формула Герона)

Якщо $a$, $b$, $c$ — сторони трикутника, а $p$ — його півпериметр, то:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

За трьома сторонами та радіусом описаного кола

Якщо $a$, $b$, $c$ — сторони трикутника, а $R$ — радіус, описаного навколо нього кола, то:

$S=\dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R}$.

За трьома сторонами та радіусом вписаного кола

Якщо $p$ — півпериметр трикутника, а $r$ — радіус, вписаного в нього кола, то:

$S=p \cdot r$

Периметр трикутника

Периметр трикутника

Периметр трикутника дорівнює сумі всіх його сторін.

$P=a+b+c$.

Висота трикутника

Висота трикутника

Висотою трикутника називають перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на пряму, яка містить його протилежну сторону.

Медіана трикутника

Медіана трикутника

Відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони, називають медіаною трикутника.

Бісектриса трикутника

Бісектриса трикутника

Відрізок бісектриси кута трикутника, який сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони, називають бісектрисою трикутника.

Види трикутників

Види трикутників

Залежно від довжини сторін розрізняють різносторонні, рівнобедрені і рівносторонні (або правильні) трикутники.



Залежно від величини кутів розрізняють гострокутні, прямокутні й тупокутні трикутники.

Залежно від величини кутів

Тупокутний трикутник

Тупокутний трикутник

Тупокутним називається трикутник, у якого один внутрішній кут більший ніж $90^\circ$.

Прямокутний трикутник

Прямокутний трикутник

Прямокутним називається трикутник, у якого є прямий кут. Сторону прямокутного трикутника, протилежну прямому куту, називають гіпотенузою, а дві інші сторони — катетами.

Властивості:

У прямокутному трикутнику:

1. гіпотенуза більша за катет;
2. катет, який лежить проти кута, величина якого $30^\circ$, дорівнює половині гіпотенузи;
3. кут, який лежить навпроти катета, вдвічі меншого за гіпотенузу, дорівнює $30^\circ$.

Гострокутний трикутник

Гострокутний трикутник

Гострокутним називається трикутник, у якого всі внутрішні кути менші за $90^\circ$.

Залежно від довжини сторін

Рівносторонній трикутник

Рівносторонній трикутник

Рівносторонній трикутник — це трикутник, у якого довжини всіх сторін рівні.

Властивості:

У рівносторонньому трикутнику:

1. всі внутрішні кути рівні;
2. бісектриса, висота й медіана, проведені з однієї вершини, збігаються.

Рівнобедрений трикутник

Рівнобедрений трикутник

Рівнобедрений трикутник — це трикутник, у якого тільки дві сторони рівні. Рівні сторони рівнобедреного трикутника називають бічними сторонами, а третю сторону — основою рівнобедреного трикутника.

Властивості:

У рівнобедреному трикутнику:

1. кути при основі рівні;
2. проти рівних кутів лежать рівні сторони;
3. проти рівних сторін лежать рівні кути;
4. бісектриса, висота й медіана, проведені до основи, збігаються.

Ознаки:

1. Якщо медіана трикутника є його висотою, то цей трикутник рівнобедрений.
2. Якщо бісектриса трикутника є його висотою, то цей трикутник рівнобедрений.
3. Якщо в трикутнику два кути рівні, то цей трикутник рівнобедрений.
4. Якщо медіана трикутника є його бісектрисою, то цей трикутник рівнобедрений.

Різносторонній трикутник

Різносторонній трикутник

Різносторонній трикутник — це трикутник, у якого довжини всіх сторін різні.

Рівні трикутники

Рівні трикутники

Два трикутники називають рівними, якщо їх можна сумістити накладанням.

Основна властивість рівності трикутників

Для даного трикутника $ABC$ і даного променя $A_1M$ існує трикутник $A_1B_1C_1$, який дорівнює трикутнику $ABC$, такий, що $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$, $AC=A_1C_1$ і сторона $A_1B_1$ належить променю $A_1M$, а вершина $C_1$ лежить у заданій півплощині відносно прямої $A_1M$.

Ознаки рівності трикутників

Третя ознака рівності трикутників

Третя ознака рівності трикутників:

за трьома сторонами

Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака рівності трикутників

Друга ознака рівності трикутників:

за стороною та двома прилеглими до неї кутами

Якщо сторона та два прилеглих до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні та двом прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Перша ознака рівності трикутників

Перша ознака рівності трикутників:

за двома сторонами та кутом між ними

Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам та куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Подібні трикутники

Подібні трикутники

Два трикутники називають подібними, якщо їхні кути відповідно рівні та сторони одного трикутника пропорційні відповідним сторонам другого трикутника. Число, якому дорівнює відношення відповідних сторін, називають коефіцієнтом подібності.

Лема про подібні трикутники

Пряма, яка паралельна стороні трикутника та перетинає дві інші його сторони, відтинає від даного трикутника йому подібний.

Властивості:

1. Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності.
2. Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнту подібності.

Ознаки подібності трикутників

Третя ознака подібності трикутників

Третя ознака подібності трикутників:

за трьома сторонами

Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Друга ознака подібності трикутників

Друга ознака подібності трикутників:

за двома сторонами та кутом між ними

Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника та кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні.

Перша ознака подібності трикутників

Перша ознака подібності трикутників:

за двома кутами

Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Пряма Ейлера

Пряма Ейлера

У будь-якому трикутнику центр описаного кола, центроїд і ортоцентр лежать на одній прямій.

Цю пряму називають прямою Ейлера.