Aplicaciones de la derivada al análisis de funciones

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APLICACIONES DE LA DERIVADA AL ANÁLISIS DE FUNCIONES

Extremos locales

Halla los extremos locales de la función : y=x3 -12x-4 Resolución Como y‘= 3x2-12= 3(x2-4)=0 Los ceros de y‘ son x=2 y x=-2. Al analizar el signo de y‘ encontramos y‘< 0 en (-2; 2), luego en x=-2 y‘ pasa de valores positivos a negativos, se trata de un máximo que es ymax=f(-2)=12. En x=2 y‘ pasa de valores negativos a positivos, se trata de un máximo que es ymin=f(2)=-20.

Un punto x0 es un extremo local (máximo o mínimo) de una función f, si el valor f(x0) es mayor (máximo) o menor (mínimo) que todos los valores que toma la función en un intervalo del tipo (x0-µ;x0+µ).

Puntos de inflexión

f(x)=x3-3x2+6x-6 f ‘(x)=3x2-6x+6 f “(x)=6x-6 6x-6 =0 ⇒ x=1 El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada segunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava).

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro.

Crecimiento y decrecimiento de las funciones en un intervalo

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función : y=¹/3 x3 + x2 + 1 Resolución Como y‘=x2+2x=x(x+2) Se analiza el signo de la expresión x(x+2) Signos.jpg y‘ es positiva si x<-2 o si x>0 y‘ es negativa si -2

.Si f es una función derivable en el intervalo (a;b) y para cada x con a0, entonces la función f es estrictamente creciente en el intervalo dado. .Si f es una función derivable en el intervalo (a;b) y para cada x con a

Concavidad y convexidad de una función

EJEMPLO

f(x)=x3-3x2+6x-6 f ‘(x)=3x2-6x+6 f “(x)=6x-6 6x-6 >0 ⇒ x>1 cóncova 6x-6 <0 ⇒ x<1 convexa

Una función es cóncava si fijado un vector unitario en el semieje positivo OY, dicho vector está en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a la función) que la función. En caso contrario (distintos semiplanos) se dice convexa.

Otras aplicaciones de la derivada

CALCULO APROXIMADO DE LOS VALORES DE UNA FUNCIÒN La introducción de la derivación nos permite hacer cálculos aproximados más precisos para las funciones derivables, siempre que se escoja Delta.