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Fundamentos de probabilidad y Teorema de Bayes

Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

Son una colección de sucesos A1, A2, A3, A4... Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.

Divide y vencerás

Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema. B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 ) Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples.

Frecuentista (objetiva)

Probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa (%) de veces que ocurriría el suceso al realizar un experimento repetidas veces

Subjeti

Grado de certeza que se posee sobre un suceso. Es personal

Sucesos

Se llama suceso contrario

(complementario) de un suceso A, A’, al formado por los elementos que no están en A.

Se llama suceso unión

de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos.

Se llama suceso intersección

de A y B, A∩B o simplemente AB, al formado por los elementos que están en A y B.

Se llama suceso

un subconjunto de dichos resultados.

• Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (E).

Probabilidad condicionada

Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que pasa B: P(A | B) = P(AnB) P(B) ◼ Error frecuente:  No confundir probabilidad condicionada con intersección  En ambos medimos efectivamente la intersección, pero ◼ En P(A∩B) con respecto a P(E)=1 ◼ En P(A|B) con respecto a P(B)

Prueba diagnóstica

Ayuda a mejorar una estimación de la probabilidad de que un individuo presente una enfermedad. ▪ En principio tenemos una idea subjetiva de P(Enfermo). Nos ayudamos de: ▪ Incidencia: Porcentaje de nuevos casos de la enfermedad en la población ▪ Prevalencia: Porcentaje de la población que presenta una enfermedad ▪ Para confirmar la sospecha, usamos una prueba diagnóstica. Ha sido evaluada con anterioridad sobre dos grupos de individuos: sanos y enfermos. Así de modo frecuentista se ha estimado: ▪ P(+ | Enfermo)= Sensibilidad (verdaderos +)= Tasa de acierto sobre enfermos. ▪ P(- | Sano) = Especificidad (verdaderos -)= Tasa de acierto sobre sanos ▪ A partir de lo anterior y usando el teorema de Bayes, podemos calcular las probabilidades a posteriori (en función de los resultados del test): Índices predictivos ▪ P(Enfermo | +) = Índice predictivo positivo ▪ P(Sano | -) = Índice predictivo negativo

es la proporción de veces que un suceso ocurra si repetimos la experiencia un número muy grande de veces.

Teorema de Bayes

Teorema de la probabilidad total

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces podemos calcular la probabilidad de B

En general, la regla de Bayes permite usar P(A/B) para calcular la P(B/A) La principal aplicación de esta prueba en ciencias de la salud es para el cálculo de Índices predictivos. Este teorema tiene su aplicación en el cálculo de la probabilidad de un diagnóstico correcto.

Independencia de sucesos

Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno, no añade información sobre el otro. ▪ A es independiente de B  P(A|B) = P(A)  P(AB) = P(A) P(B)

probabilidad

A cualquier función, P, que asigna a cada suceso A un valor numérico P(A), verificando las siguientes reglas (axiomas) ▪ P(E)=1 ▪ 0≤P(A) ≤1 ▪ P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø ▪ Ø es el conjunto vacío. ▪ Podes imaginar la probabilidad de un subconjunto como el tamaño relativo con respecto al total (suceso seguro).