El texto trata sobre varios conceptos fundamentales en matemáticas y geometría analítica. Se explica cómo calcular la distancia entre dos puntos utilizando la fórmula de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias de sus coordenadas.
Pendiente de rectas entre dos puntos: La pendiente es igual a la división de la elevación entre el avance: . Puedes determinar la pendiente de una recta a partir de su gráfica examinando la elevación y el avance.
Punto pendiente de la recta:Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como . En ésta ecuación, m es la pendiente y (x1, y1) son las coordenadas del punto.
Formula de : A(X1, Y1) B(X2, Y2)
m= Y2-Y1 ÷ X2-X1
Punto medio:es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
Formula:
Punto medio=(X1+X2 ÷ 2 , Y1+Y2 ÷ 2)
Ejes de coordenadas
Coordenada Y
Ordenada
Coordenada X
Abscisa
Eje horizontal
Eje vertical
Función:f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x).
Funciones inversas:
Se llama función inversa o reciproca de f(x) a otra función f^-1 (x) que cumple que:
Si f(a)=b , entonces f^-1 (b)=a
Veamos un ejemplo a partir de la función f(x)=x+4
Composición de funciones: La composición es una operación entre funciones que se establece de la siguiente manera:
Dadas dos funciones f y g, se define como la composición de la función f con la función g, a la función denotada f o g (léase f composición g), cuya regla de correspondencia es:
Un ejemplo sería: f(x) = 3x y g(x) = x + 1
Donde su dominio está representado por el conjunto.
Para visualizar mejor cómo se obtiene el dominio y el recorrido de la función composición f o g, recurramos a su representación en un diagrama de Venn.
Podemos ver que el D f o g (dominio de f o g) lo formarán aquellos elementos del g para los cuales, al sustituirlos en la función g, el resultado pertenece al conjunto Rg ∩ Df..
Ejemplo: Si f(x)=x2-1 y g(x)=-(x+1)^(1/2)
Propiedades de la composición de funciones:
1. Asociativa
f o (g o h) = (f o g) o h
2. No es conmutativa
f o g ≠ g o f
3. El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x.
f o i = i o f = f
Ejercicios:
f(x) = 3x-5, g(x)= x2+2x , h(x)=√(x+2) , k(x)= 3/x-8
1. (f o g)(x)= 3(x2+2x)-5
=3x2+6x-5
R=3x2+6x-5
2. (g o f)(x)= (3x-5)2 + 2(3x-5)
= 9x2-60x +25 + 6x -10 (simplificamos en términos iguales)
=9x2 -54x +15
R=9x2 -54x +15
3.(h o k)(x)= √(3/(x-8 )+2
R= √(3/(x-8 )+2 (ya no se puede simplificar más, hasta ahí queda el resultado)
4. (f o k) (x)=3(3/x-8)-5
=9/x-24-5
=9/x-29
Operaciones con funciones:Ejemplo :
Digamos que f ( x ) = 2 x + 1 y g ( x ) = x 2 – 4.
Encuentre ( f + g )( x ), ( f – g )( x ), ( fg )( x ) y .
( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
= (2 x + 1) + ( x 2 – 4)
= x 2 + 2 x – 3
( f – g )( x ) = f ( x ) – g ( x )
= (2 x + 1) – ( x 2 – 4)
= – x 2 + 2 x + 5
( fg )( x ) = f ( x ) × g ( x )
= (2 x + 1)( x 2 – 4)
= 2 x ^3 + x ^2 – 8 x – 4
Gráfica de funciones algebraicas y funciones especiales
Se presenta de está forma: f(x)
Clases de funciones:Función polinómica
Función constante
Función polinómica de primer grado
Función afín
Función lineal
Función identidad
Función cuadrática
Función cúbica
Función racional
Función de proporcionalidad inversa
Función radical
Función inversa
Funciones trascendentes
Función exponencial
Función potencial exponencial
Función logarítmica
Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas inversas
Funciones definidas a trozos
Función derivada
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Función inyectiva
Función sobreyectiva
Función biyectiva
Funciones explícitas e implícitas
Función valor absoluto
Circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan a otro punto llamado centro.
La distancia entre dos puntos equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente.
Sistema de coordenadas
Tipos de coordenadas
Sistema de coordenadas cartesianas.
Sistema de coordenadas polares.
Sistema de coordenadas log-polares.
Sistema de coordenadas cilíndricas.
Sistema de coordenadas esféricas.
Coordenadas geográficas.
Coordenadas curvilíneas generales.
Coordenadas curvilíneas ortogonales.
Se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen
Conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo.
