TRIGONOMETRIA

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GEOMETRIA DE POSIÇÃO E POLIEDROS

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a/senA = b/senB = c/senC

TRIGONOMETRIA

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Progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que, após o primeiro termo, os termos posteriores da sequência são construídos a partir da multiplicação de uma razão q pelo termo antecessor

A razão de uma PG pode ser encontrada a partir da divisão de um termo da sequência pelo seu antecessor. Ao fazer isso, caso ela seja realmente uma progressão geométrica, essa divisão sempre será igual a q.

Propriedades da PG

2ª propriedade O termo central da PG é também a sua média geométrica.

Classificação de uma PG

Uma PG pode ser classificada como finita, quando existir uma qualidade limitada de termos, ou infinita. Além disso, também classificamos a PG de acordo com seu comportamento, podendo ser crescente, decrescente, constante e oscilante. Essa classificação depende diretamente da razão q.

Crescente: Para que ela seja crescente, o segundo termo deve ser maior que o primeiro e assim sucessivamente, ou seja, a1 < a2 < a3 < a4 < … < an. Uma PG é crescente se, e somente se, a razão for maior que um, ou seja, q > 1. Exemplo: (2, 10, 50, 250, …), q = 5, logo a PG é crescente

Constante: Para que ela seja constante, os termos precisam ser todos iguais: a1 = a2 =...= an. Uma PG é constante se, e somente se, a razão for igual a 1, ou seja, q = 1. Exemplo: (2, 2, 2, 2, 2, 2), q = 1, logo a PG é constante.

Decrescente: Para que ela seja decrescente, o segundo termo deve ser menor que o primeiro e assim sucessivamente, ou seja, a1 > a2 > a3 > a4 > … > an. Uma PG é decrescente se, e somente se, a razão for um número entre zero e um, ou seja, 0 > q > 1.

Oscilante: Para que ela seja oscilante, os termos são alternadamente negativos e positivos, o que ocorre quando a razão é negativa, ou seja, q < 0. Exemplo: (1,-2,4,-8,16,-32,64...) e q=-2, logo a PG é oscilante.

1ª propriedade Devido ao comportamento da PG, ela preserva algumas propriedades. A primeira delas é que o produto de termos equidistantes do extremo é sempre igual.

PG de razão 3 em que o primeiro termo é 2. Os termos da sequência são representados por (a1, a2, a3, a4, a5 …). a1 = 2 a2 = 2.3 = 6 a3 = 6.3 = 18 a4 = 18.3 = 54 a5 = 54.3 = 162. A PG do exemplo é, portanto, (2,6,18,54,162...)

Principais Razões Trigonométricas Considerando um ângulo α

Cos30° = Sen60°

What is the season you like the least?

Sen30° = Cos60°

Why do you dislike this season?
How does it make you feel?
Try to come up with various descriptive adjectives that best describe the meaning of bad in this context.

Tangente α = (CO)/(CA) ou Seno α /Cosseno α e Precisa de 2 valores.

What is the worst book you read?
Type in the title.

Seno α = (CO)/h

What food you dislike the most?

Cosseno α = (CA)/h

Why do you dislike this food?
How does it make you feel?
Try to come up with various descriptive adjectives that best describe the meaning of bad in this context.

Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Outros 2 lados = Cateto Oposto(CO) e Adjacente(CA).

What is your favorite season?

Teorema de Pitágoras: (h)² = (CO)² + (CA)²

Why do you like this season?
How does it make you feel?
Try to come up with various descriptive adjectives that best describe the meaning of good and nice in this context.

Um ângulo α do triângulo = 90°

What is your favorite book?
Type in the title.

Lado oposto ao α = Hipotenusa(h)

What is your impression of this book?
How did it make you feel?
Try to come up with various descriptive adjectives that best describe the meaning of good and nice in this context.

A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A.

Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior.

Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (P.G.), pois nesta, os números são multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.

Cada termo de uma P.A. é identificado pela posição que ocupa na sequência e para representar cada termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um número que indica sua posição na sequência. Por exemplo, o termo a4 na P.A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 4ª posição na sequência.

Classificação de uma P.A. De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em: Constante: quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0. Crescente: quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 2. Decrescente: quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5

Propriedades da P.A. 1ª propriedade: Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

2ª propriedade: Considerando três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.

3ª propriedade: Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética entre termos equidistantes deste. Esta propriedade deriva da primeira

FÓRMULA DO TERMO EM GERAL: AN=A1+(n-1)r

Onde, an: termo que queremos calcular a1: primeiro termo da P.A. n: posição do termo que queremos descobrir r: razão

Ângulos Notáveis Notáveis porque são mais frequentes... São 30°, 45° e 60°. Pode representar o ângulo em grau ou radiano (180 - πrad)

Cos45° = √2/2

Cos60° = 1/2

Tg60° = √3

Sen60° = √3/2

Tg45° = 1

Sen30° = 1/2

Who is the best person in the world for you? Type in the answer.

Sen45° = √2/2

Describe your feelings about this person.
Try to come up with other descriptive adjectives instead of good and nice.

Tg30° = √3/3

Describe the way he/she looks like.
Try to provide as many descriptive adjectives as you can, taking into account the meaning of good and nice in this context.

Cos30° = √3/2

Describe how he/she acts or behaves. Try to come up with various adjectives that best describe the meaning of good and nice in this situation.

Redução ao primeiro quadrante Seno = Projeção em Y Cosseno = Projeção em X Busca simetria com Primeiro quadrante Ângulos opostos pelo vértice

Relação fundamental A partir de um valor de divisão de um arco qualquer, encontra-se os valores das outras razões trigonométricas sen²(angulo) + cos²(angulo) = 1 sen²(angulo) = 1 - cos²(angulo) cos²(angulo) = 1 - sen²(angulo)

Ciclo Trigonométrico Circunferência de 1 como raio Dividida entre Eixo das Abscissas(x) e Eixo das Ordenadas(y) Divisão forma 4 quadrantes com sinais variáveis 0° a 90°: Primeiro 90° a 180°: Segundo 180° a 270°: Terceiro 270° a 360°: Quarto

Relações Trigonométricas em um Triângulo Qualquer: Lei dos Senos: Divide os catetos pelos senos dos angulos a frente e os iguala. Trabalha com 4 informações.

Lei dos Cossenos: Dá um valor para um cateto a partir da fórmula. Trabalha com 4 informações.

a² = b²+c² - 2bc. cosA

b² = a²+c² - 2ac. cosB

c² = a²+b² - 2ab. cosC

Área da Geometria Plana Relação entre ângulo e comprimento dos lados. Áreas que a trigonometria pode ser utilizada: Medicina, Engenharia, Arquitetura, Navegação, Astronomia, Cartografia etc