Лекция 1 "Алгебра"

Meer zoals dit

Металлы

door Nastya Kazhan

План организации — дерево

door Мария Добриян

Понятие формы как объекта. Основные свойства формы

door Гимранова Фирая Эсхатовна

Тригонометрические функции

door Ксения Лоскутова

Лекция 1 "Алгебра"

Логарифм

Свойства логарифмов

Свойства логарифмов:

• Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
• Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
• Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа.

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа b по основанию a

$a>0$ и a не равно 1, называют число A, такое что

$b=a^A$

Обозначают так: $A=log(a,b)$ , где $a$ -основание логарифма,

$b$ - логарифмическое выражение.

Корень

Степень с дробным показателем

Свойства корней:

• Существует, и притом единственный, корень нечётной степени из любого действительного числа b, при этом корень нечётной степени:

а) из положительного числа есть число положительное;

б) из отрицательного числа есть число отрицательное;

в) из нуля есть нуль.

• Существует два и только два корня чётной степени из любого положительного числа, которые отличаются только знаками.

а) Корень чётной степени из нуля единственный и равен нулю.

б) Корня чётной степени из отрицательного числа не существует.

• Неотрицательный корень степени n из неотрицательного числа b называют арифметическим корнем степени n из числа b.

Извлечь корень

Извлечь корень:

При извлечении корня можно заменить подкоренное выражение на простые множители и те множители которые имеют степень корня заменить на основания.

Определение корня

Корнем степени n из числа b называют такое число a (если оно существует), n -я степень которого равна b.

$sqrt(3, 125)=5$

Степень

Степень с отрицательным показателем

Степень с отрицательным показателем:

при возведении числа в отрицательную степень можно заменить основание на обратное число и возвести данное число в положительную степень.

Свойства степеней

Свойства степеней:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание сохраняется, о показатели складываются.
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями, основание сохраняется, а показатели вычитаются.
3. При возведении степень в степень показатели перемножаются.
4. При умножении степеней с одинаковыми показателями, можно перемножить их основания, а показатель сохранить.
5. При делении степеней с одинаковыми показателями, можно разделить их основания, а показатель сохранить.

Определение степени

Под степенью понимают произведение одинаковых множителей, каждым из которых является число a.

$a^n=a*a*...*a$ , число a повторяется n раз.

Формулы

Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество

$(sin a)^2+(cos a)^2=1$

Основное логарифмическое тождество

Основное логарифмическое тождество

$log(a, a^b)=b$

Сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

Тригонометрия

Определение котангенса

Число, равное отношению абсциссы точки единичной окружности к ее ординате, соответствующей углу a, называют котангенсом угла a и обозначают ctg a.

Определение тангенса

Число, равное отношению ординаты точки единичной окружности к ее абсциссе, соответствующей углу a, называют тангенсом угла a и обозначают tg a.

Определение косинуса

Число, равное абсциссе точки единичной окружности, соответствующей углу a, называют косинусом угла a и обозначают cos a.

Определение синуса

Число, равное ординате точки единичной окружности, соответствующей углу a, называют синусом угла a и обозначают sin a.

Действительные числа

Факториал

Факториал - это произведение натуральных чисел от 1 до n.

Например, $5!=1*2*3*4*5$

Делимость чисел

Делители числа 6552

$6552=2*2*2*3*3*7*13$

Простые числа

Простые числа имеют два делителя: 1 и само число.

Например, $17=1*17$ , т.е. 17 - это простое число;

$18=1*2*3*3$ , т.е. 18 не является простым числом, его называют составным.

Натуральные числа

Натуральные числа - это числа, которые используются при счете 1, 2, 3,... .