Équation de droite
IV. Position relative de deux droites
Lien entre les droites et les systèmes
Soit le système (𝑆) : { 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 {𝑎′𝑥+𝑏′𝑦+𝑐′ =0 avec deux droites d et d’ d’équations respectives 𝑎𝑥 +𝑏𝑦 + 𝑐 =0 et 𝑎’𝑥 +𝑏’𝑦 + 𝑐’ =0 ((𝑎, 𝑏)≠ (0 ; 0) et (𝑎’, 𝑏’)≠ (0 ; 0))
si d et d’ sont confondues, alors elles ont une infinité de points en commun.
si d et d’ sont strictement parallèles, alors elles n’ont aucun point d’intersection.
Dans ce cas, le système (S) n’a aucun couple solution.
si d et d’ sont sécantes, alors elles ont un unique point d’intersection.
Dans ce cas, le système (S) a un unique couple solution, le couple formé par les coordonnées de leur point d’intersection.
Les droites parallèles
Soient (d) et (d’) deux droites d’équations réduites respectives 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 et 𝑦 = 𝑚′𝑥 + 𝑝′ avec 𝑚, 𝑝, 𝑚′et 𝑝′ réels.
(d) et (d’) sont parallèles si et seulement si 𝑚 = 𝑚′.
Si 𝑝 ≠ 𝑝′ ⇔ (d) et (d’) sont strictement parallèles
Si 𝑝 = 𝑝′ ⇔ (d) et (d’) sont confondues
Deux droites d et d’ d’équations respectives 𝑎𝑥 +𝑏𝑦 + 𝑐 =0 et 𝑎’𝑥 +𝑏’𝑦 + 𝑐’ =0 sont parallèles si et seulement si 𝑎𝑏’ – 𝑏𝑎’ = 0. ((𝑎, 𝑏)≠ (0 ; 0) et (𝑎’, 𝑏’)≠ (0 ; 0))
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Les droites sécantes
Soient (d) et (d’) deux droites d’équations réduites respectives 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 et 𝑦 = 𝑚′𝑥 + 𝑝′ avec 𝑚, 𝑝, 𝑚′et 𝑝′ réels.
(d) et (d’) sont sécantes si et seulement si 𝑚 ≠ 𝑚′.
Les droites d et d' d'equations respectives, ax = by - c=0 et a’x + b’y - c’ = 0 sont sécantes ⇔ ab' - a'b ≠ 0
Dans ce cas, les droites d et d' ont un point d'intersection.
I. Vecteur directeur d'une droite
A ∈ d et u vecteur directeur de d
M∊(d)⇔det (AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑢⃗⃗ ) =0
Soient A et B deux points distincts de d , droite du plan. ⩝ vecteur 𝑢⃗⃗ ≠ colinéaire à AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ →vecteur directeur
Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs
⩝ vecteur ≠ colinéaire à vecteur directeur →vecteur directeur de cette droite
III. Équation réduite d'une droite
Remarques
Trois points A, B et C sont alignés lorsque les droites (AB) et (AC) sont confondues : elles ont alors le même coefficient directeur.
Deux droites d : mx+p et d' : m'x+p' sont parallèles si et seulement si les coefficients directeurs m et m' sont égaux.
Une droite d'équation réduite y=mx+p est la représentation graphique de la fonction affine définie par f(x)=mx+p.
Droite non parallèle à l'axe des ordonnées
Soit d une droite d'équation réduite y=mx+p, A(xA;yA) et B(xB;yB) sont deux points distincts de d. Le coefficient directeur de la droite d est le réel m=(yB-yA)/(xB-xA).
Soit d une droite d'équation cartésienne ax+by+c=0 avec b≠0. La droite d admet une unique équation de la forme y=mx+p, appelée équation réduite d, avec m son coefficient directeur et p son ordonnée à l'origine.
Droite parallèle à l'axe des ordonnées
Soit d une droite d'équation cartésienne ax+by+c=0 avec (a;b) ≠ (0;0). Si b = 0 alors d parallèle à l'axe des ordonnées et admet une équation (appelée équation réduite, de la forme x=k, où k ∈ ℝ.
II. Équation cartésienne d'une droite
Une droite admet une infinité d’équations cartésiennes
L’ensemble des points M(x;y) du plan est une droite de vecteur directeur 𝑢⃗⃗(-ba) tel que ax+by+c=0
𝑢⃗⃗(-b;a) est un vecteur directeur de la droite tel que ax+by+c=0
De la forme ax+by+c=0 pour toute droite d du plan avec (a;b) ≠ (0;0) et a,b,c des réels
Si a=0 et b=0
* Si c≠0, alors ℰ, l'ensemble des points de la droite, est vide
* Si c=0, alors, ℰ=𝓟
Si b=0
* a un vecteur directeur 𝑗⃗(0;1)
* droite parallèle à l'axe des ordonnées
* équation de la forme x=k
Si a=0
* a un vecteur directeur 𝑖⃗(1;0).
* droite parallèle à l'axe des abscisses
* équation de la forme y=k
