Теория чисел. Дружественные числа - символ дружбы

1.Известно более 1 000 000 000 пар дружественных чисел. Все они состоят из чисел одинаковой чётности. Существует ли смешанная (чётно-нечётная) дружественная пара?2. Конечно или бесконечно число дружественных пар? 3. Существует ли формула для нахождения всех дружественных пар?4. Верна ли гипотеза Брэтли и Мак-Кэй, что все нечетные дружественные числа кратны 3, а сумма чисел, образующую дружественную пару, кратна 9?5. Существуют ли взаимно простые дружественные числа? Если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше 1067. 

В 1742 г. член Петербургской Академии наук Х. Гольбах в письме к Эйлеру, члену той же Академии наук, высказал гипотезу: Любое натуральное нечетное число, больше пяти, представляет сумму трех простых чисел. Эйлер ответил, что не может доказать эту гипотезу и выдвинул свою гипотезу, связанную с первой: Всякое четное натуральное число, больше двух, представляет сумму двух простых. В течение многих лет выдающиеся математики многих стран стремились доказать проблему Гольдбаха – Эйлера. Числовая проверка этого свойства, доведенная к началу XX в. до 9000000, показала, что гипотеза Гольдбаха верна. Но проблема Гольдбаха – Эйлера средствами современной математики не может быть доказана.Источник: Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах. 1963 г. с. 21

Леонард Эйлер включился в поиск дружественных чисел. Он получил утверждение, очень похожее на правило Сабита, но более общее. С помощью своего обобщения он не смог найти новые дружественные числа, так как в то время необходимые ему таблицы простых чисел были составлены только до 100 000.Эйлер искал дружественные числа и совершенно иного вида, чем его предшественники, в частности нечетные. Среди них оказались и пары нечетных дружественных чисел вида а · p · q   и  а · r, где р, q, r – простые числа. Например:(32 · 7 · 13) · 5 · 17  и  (32 · 7 · 13) · 107;(34 · 5 · 11) · 29 · 89  и  (34 · 5 · 11) · 2699.В своих мемуарах «О дружественных числах» и «О сумме делителей» Эйлер излагает пять различных методов выявления дружественных чисел. С 1747 года по 1750 год он обнаружил 59 пар дружественных чисел.Эйлер исследует числа специального вида: дружественные, многоугольные, удобные, обобщенные простые и другие, а также свойства некоторых важных арифметических функций, в частности функции σ(n) – суммы делителей числа n. В этот же период он дает эскиз доказательства теоремы о многоугольных числах, рассматривает теорему о двух квадратах и связанные с ней утверждения и теоремы, а затем теорему о четырех квадратах. Таким путем в 1751 г. он приходит к следующей вершине своих изысканий – квадратичному закону взаимности.

Гольдбах Христиан немецкий философ, археолог, математик, метафизик, большую часть жизни проживший в России. Уроженец Кенигсберга, изучал в Кенигсбергском университете право и математику. В молодости много путешествовал по Европе. Член Петербургской АН с 1725, ее почетный член с 1742. С 1727 занимался воспитанием Петра II. Член коллеги по иностранным делам (1742), тайный советник (1760). Известен трудами по математическому анализу, в 1742 сформулировал проблему Гольдбаха.

Сформулирована в 1770 г. английским математиком Варингом (1734-1798) и читается так: «доказать, что всякое целое число N может быть представлено в виде суммы не более чем четырех квадратов». Например: 11 = 32 + 12 +12, 29 = 52 + 22, 55 = 72 + 22 + 12 + 12, 286 = 162 + 52 + 22 + 12.Источник: Болгарский В.Б. Очерки по истории математики. 1979 г. с. 344

Следующим математиком после Эйлера, кто пополнил коллекцию дружественных чисел еще одной парой, был наш выдающийся соотечественник Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) в 1851 году.

Решая проблему Гольдбаха - Эйлера, Виноградов И.М. сумел показать, что для достаточно больших чисел теорема справедлива. При этом «достаточно большое число», согласно более поздним исследованиям математика Бороздкина, оказалось равным приблизительно числу, которое выражается так:C=ee^e^41,96, где е = 2,71828… Если бы это число можно было записать в развернутом виде, то его запись обернулась бы вокруг земного экватора 100 миллионов раз.Источник: Болгарский В.Б. Очерки по истории математики. 1979 г. с. 345

Лев Генрихович Шнирельман (1905-1938) в 1931 г. добился значительных успехов в решении проблемы Гольдбаха – Эйлера. Крупным успехом на пути решения проблемы Гольдбаха была доказанная Л.Г. Шнирельманом (1930) теорема о том, что всякое целое число, большее единицы, есть сумма ограниченного числа простых чисел.Источник: Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах. 1963 г. с. 21

Другое доказательство теоремы о представлении достаточно большого нечётного числа в виде суммы трёх простых было дано в 1945 г. Ю.В. Линником.Источник: Научное наследие России. Гольдбах Христиан 

В 1937 г. Виноградов И.М. почти полностью решил проблему Гольдбаха – Эйлера. Он доказал, что существует среди натуральных чисел такое число «С», за которым всякое нечетное натуральное число является суммой трех простых чисел, причем это число «С» очень велико. Например, 21= 3+7+11, 23= 5+7+11 и т.д. Но утверждение «любое четное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел» (например: 28 = 11 + 17, 56 = 19 + 37,   924 = 311 + 613 и т. д.) до сих пор не доказано. Созданный при решении проблемы Гольдбаха метод И.М. Виноградова позволяет решать и ряд существенно более общих задач. Источник: Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах. 1963 г. с. 21Виноградов И.М. доказал в общем виде проблему Варинга, и при этом ему удалось дать весьма точную оценку числа необходимых слагаемых. Граница для числа слагаемых была выражена величиной равной п[3(lnn + 11)], где  n – показатель степени слагаемых.Источник: Болгарский В.Б. Очерки по истории математики. 1979 г. с. 343

В XX веке математики обобщили понятие дружественных чисел и занялись поиском дружественных рядов (или общительных чисел) - замкнутых циклов из трех и более чисел. Например, в тройке чисел 1 945 330 728 960, 2 324 196 638 720; 2 615 631 953920 делители первого числа в сумме дают второе число, делители второго в сумме дают третье число, а делители третьего числа в сумме дают первое число. Пример пятёрки общительных чисел: 12 496,  14 288,  15 472,  14 536,  14 264. Один из известных циклов, состоящий из 28 чисел (1918 г.): 14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716.

Ямвлих рассказывает, как однажды Пифагор (около 570 - около 500 лет до н. э.) на вопрос, кого следует считать другом, якобы ответил так: "Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284."