Casos de factorización

La factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número o una suma).

Características y cuándo aplicarlo - Se aplica en binomios, trinomios y
polinomios de cuatro términos o más.
No aplica para monomios.

- Es el primer caso que se debe

inspeccionar cuando se trata de

factorizar un polinomio.

- El factor común es aquello que se

encuentra multiplicando en cada uno de

los términos. Puede ser un número, una

letra, varias letras, un signo negativo,

una expresión algebraica (encerrada en

paréntesis) o combinaciones de todo lo

anterior.

Cómo realizar la factorización - De los coeficientes de los términos,
se extrae el MCD (Máximo Común
Divisor) de ellos.

- De las letras o expresiones en

paréntesis repetidas, se extrae la de

menor exponente.

- Se escribe el factor común, seguido

de un paréntesis donde se anota el

polinomio que queda después de que

el factor común ha abandonado cada

término.

Ejemplo: 3x+3y=3(x+y)

Características y cuándo aplicarlo - Se aplica en polinomios que tienen 4,
6, 8 o más términos (siempre que el
número sea par) y donde ya se ha
verificado que no hay factor común.

Cómo realizar la factorización - Se forman grupos de igual número
de términos, buscando que exista
alguna familiaridad entre los términos

agrupados (es decir, que tengan

rasgos comunes).

- La agrupación se hace colocando

paréntesis.

- ¡CUIDADO! Deben cambiarse los

signos de los términos encerrados en

el paréntesis si éste queda precedido

por signo negativo.

- Se extrae factor común de cada

grupo formado (es decir, aplicamos el

caso 1 en cada expresión encerrada

en paréntesis).

- Por último, se extrae factor común

de toda la expresión (es decir,

nuevamente se aplica el caso 1; en

esta ocasión, el factor común es una

expresión encerrada en paréntesis).

Ejemplo: 4a^3-1-a^2+4a
4a(a^2+1)-(a^2+1)
=(a^2+1)(4a-1)

- Se aplica solamente en binomios,
donde el primer término es positivo y el
segundo término es negativo.

- Se reconoce porque los coeficientes de

los términos son números cuadrados

perfectos (es decir números que tienen

raíz cuadrada exacta, como 1, 4, 9, 16,

25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169,

196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, etc.) y

los exponentes de las letras son

cantidades pares (2, 4, 6, 8n, 10m, 16b,

etc.)

- Se extrae la raíz cuadrada de cada
término: Al coeficiente se le extrae la
raíz cuadrada normalmente (por

ejemplo: √ ) y a las letras, su

exponente se divide entre 2 Esto último se fundamenta en la propiedad de la radicación:

- Se abren dos grupos de paréntesis

(conectados entre sí por

multiplicación).

- Las raíces cuadradas que se

obtuvieron de cada término se anotan

dentro de cada paréntesis: en el

primero van sumando y en el segundo

van restando (es decir, se obtiene el

producto notable llamado SUMA POR

DIFERENCIA).

m^2-1
=(m-1)(m+1)

- El trinomio debe estar organizado en
forma ascendente o descendente
(cualquiera de las dos).

- Tanto el primero como el tercer

término deben ser positivos. Asimismo,

esos dos términos deben ser cuadrados

perfectos (es decir, deben tener raíz

cuadrada exacta). En otras palabras, el

primero y el tercer término deben

reunir las características de los términos

que conforman una Diferencia de

Cuadrados Perfectos

- Primero debemos verificar que se
trata de un Trinomio Cuadrado
Perfecto (TCP). Para ello extraemos la

raíz cuadrada tanto del primer como

del tercer término.

- Realizamos el doble producto de las

raíces obtenidas y comparamos con el

segundo término (sin fijarnos en el

signo de éste). Si efectivamente nos

da, entonces tenemos un TCP.

- La factorización de un TCP es un

binomio al cuadrado, que se

construye anotando las raíces

cuadradas del primer y tercer

término, y entre ellas el signo del

segundo término.

25a^4-20a^2 b+4b^2
=(5a^2-2b)^2

- El trinomio debe estar
organizado en forma
descendente.

- El coeficiente del

primer término debe

ser uno (1).

- El grado (exponente)

del primer término

debe ser el doble del

grado (exponente) del

segundo término.

- Se abren dos grupos de paréntesis.
- Se le extrae la raíz cuadrada al primer término y se anota
al comienzo de cada paréntesis.

- Se definen los signos: el signo del primer paréntesis se

obtiene al multiplicar los signos del primer y segundo

término; el signo del segundo paréntesis se obtiene al

multiplicar los signos del segundo y tercer término.

- Buscamos dos cantidades que multiplicadas den como

resultado el término independiente (es decir c), y que

sumadas den como resultado el coeficiente del segundo

término (es decir b).

- Se anotan las cantidades que satisfacen las condiciones

anteriores en los espacios en blanco de cada paréntesis,

en sus lugares respectivos.

x^2+5x+6
=(x+3)(x+2)

- El trinomio debe estar
organizado en forma
descendente.

- El coeficiente

principal (es decir, del

primer término) debe

ser positivo y diferente

de uno (a≠1).

- El grado (exponente)

del primer término

debe ser el doble del

grado (exponente) del

segundo término.

- Debemos multiplicar y dividir el trinomio por el
coeficiente principal, es decir, a.
- En el numerador efectuamos la propiedad distributiva

teniendo presente que en el segundo término el producto

no se realiza sino que se deja expresado: la cantidad que

entra y la variable quedan agrupadas dentro de un

paréntesis y el coeficiente original queda por fuera.

- Se expresa el primer término como el cuadrado de lo

que quedó en paréntesis en el segundo término.

- Aplicamos caso 5 (Trinomio de la forma x2n+bxn

+c) en el

numerador.

- Aplicamos caso 1 (Factor común) en los paréntesis

formados.

- Finalmente, simplificamos la fracción (para eliminar el

denominador).

(5(5x^2+7x+2))/5
((5〖x)〗^2+7(5x)+10)/5
((5x+5)(5x+2))/5

=(x+1)(5x+2)

- Se aplica solamente
en binomios, donde el
primer término es

positivo (el segundo

término puede ser

positivo o negativo).

- Se reconoce porque

los coeficientes de los

términos son números

cubos perfectos (es

decir números que

tienen raíz cúbica

exacta, como 1, 8, 27,

64, 125, 216, 343, 512,

729, 1000, etc.) y los

exponentes de las

letras son múltiplos de

tres (3, 6, 9, 12, 15p,

18c, etc.).

- Se extrae la raíz cúbica de cada término: Al coeficiente se
le extrae la raíz cúbica normalmente - Se abren dos grupos de paréntesis (conectados entre sí
por multiplicación).
- En el primer paréntesis (llamado FACTOR CORTO) se

construye un binomio con las raíces cúbicas que ya se

obtuvieron. En el segundo paréntesis (llamado FACTOR

LARGO) se construye un trinomio con los términos que se

anotaron en el factor corto, en el siguiente orden: el

primero al cuadrado, luego el primero por el segundo y,

por último el segundo al cuadrado.

- Por último definimos los signos, de la siguiente manera:

Si se trata de una suma de cubos, en el factor corto va

signo positivo y en el factor largo van signos intercalados

iniciando con positivo. Si tenemos una diferencia de

cubos, en el factor corto va signo negativo y en el factor

largo van signos positivos

x^12-27y^9
(x^4-3y^3)((x^4 )^2+x^4∙3y^3+(3y^3 )^2)
=(x^4-3y^3)(x^8+3x^4 y^3+9y^6)