Fundamentos de matematicas- logica pensamiento

Intervalos

Al infinito

Semi abierto

Abierto

Cerrado

Tipos

Ecuación 1 grado

Presentación pictórica y simbólica

Ecuaciones cuadraticas

Graficas

Tipo de raices

Restricciones

Restricciones

Concepto de valor absoluto

Características

Intersección y union

Sistema de ecuaciones

Se utilizan en

es una función cuya expresión es un polinomio ; por ello a veces se le domina simple polinomio

su formula general es f(x)=a_n xn+a_n-1x^n-1+...+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0

Funcion lineal

su formula general: f(x)=ax+b

se la conoce como una función polinómica de primer grado, es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una recta.

funciones cuadráticas

su formula general: f(x)=ax^2+bx+c

Donde a,b y c son numeros reales cualquiera y a es distinto a cero ( puede ser mayor o menor a cero) el valor de b y c si pueden tomar el valor de cero.

ax ^2 es el termino cuadrático

bx es el termino lineal

c es el termino independiente

Función a trozos

su formula es f (x) = 1 / x si x < 0 0 si x = 0 1 / x si x > 0

Se llama funciones definidas por que tienen una definición diferente en cada tramo en el que están definidas.

Su formula general es f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

Es una Función polinómica de tercer grado, donde el coeficiente (a) es distinto de 0. Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de esta función pertenece a los números reales.

Encontramos

Se expresan f(x)=P(x)/Q(x)

Donde P Y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomios nulo. Esta definición puede extenderse a un numero finito pero arbitrario de variables polinomios de varias variables.

Se expresa f x = g x n p a r , Domf={x∈Domg|g(x)≥0}

Propiedades

Es una Funcion continua

Recorrido:(0. infinito)

Dominio:R/ Reales

No existe el log = 0 o a negativo

El log 1=0

Una definición de limite es : El limite de una función f(x), cuando x tiende a un valor c es igual a L, si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que 0 < x − ε < δ → f x − L < ε

El limite de una Contante es igual a la constante

lim K=K

El limite de una suma es igual a la suma de los limites de cada una de las funciones

lim[f(x)±g(x)]=lim f(x)± lim g(x)

El limite de un producto es igual al producto de los limites de cada una de las funciones.

lim [f(x) * g(x)]= limf(x) * lim g(x)

El limite de un cociente es igual al cociente de los limites de cada una de las funciones.

lim[f(x)/g(x)]=lim f(x)/lim g(x)

El limite de una función es igual al función del limites de la expresión dada.

lim g[f(x)]

Un limite indeterminado es aquel que al ser evaluado es el punto dado la solución es una indeterminación a/0 esta determinación se da cuando en el denominador el resultado es 0 y es una indeterminación debido que la división por cero no es posible.

Tipos de Indeterminaciones:

Cociente de Polinomios

Cociente con algun raiz par

Propiedades

Sean F(x) y g(x) dos funciones continuas en x= a. Se cumplen las siguientes propiedades:

La suma de funciones continuas en a es continua en a

f(x) es continua en ag(x) es continua en a f(x)+g(x) es continua en x=a

Consecuencias

las funciones polinómicas son continuas en R

La función constante f(x)=k es continua en R. La función identidad f(x)= también lo es. Un monomio puede ser considerado un producto de funciones identidad con una función contante.

Que también será continuo en R por estar formado por el producto de varias funciones continuas. Así, por ejemplo f(x)=3x4=3x x x x . Finalmente, un polinomio es la suma de varios monomios, y por tanto también será continua en R.

Las funciones racionales son continuas en su dominio, es decir, en todos los puntos que no anule el denominador

Las funciones compuestas son continuas en su dominio

Continuidad en un intervalo abierto

Decimos que la función es continua en un intervalo abierto (a,b) cuando es continua en todos los puntos pertenecientes a dicho intervalo.

Continuidad en intervalo abierto (a,b)

A la izquierda, en 1 la función es continua en todos los puntos del intervalo abierto (a,b). por ellos decimos que es continua en el intervalo. a la derecha, en 2, la función presenta un punto de discontinuidad en x=c, con lo que decimos que la función no es continua en dicho intervalo.

Recuerda que para definir la continuidad en el punto es necesario que la función este definida en un entorno del propio intervalo.

Continuidad en intervalo cerrado

Decimos que una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] cuando: f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b). Esto cubre todos los puntos del intervalo salvo los extremos.

limx → a+f(x)=f(a) y limx → a-f(x)=f(b). esto contempla la continuidad por la derecha de a y la continuidad por la izquierda de b respectivamente.

A diferencia de lo que ocurría con los intervalos abiertos , no siempre es posible encontrar un entorno en los extremos de los intervalos cerrados que permita aplicar la definición de continuidad tan cual ha sido representada.

De hecho, solo tiene sentido plantear la continuidad por la derecha en el extremo inferior del intervalo, y la continuidad por la izquierda en el extremo superior.

Continuidad en punto

Si observas con detenimiento los distintos puntos de las graficas anteriores en los que las funciones si son continuas y los puntos de discontinuidad te percatas de que la condición f(a)=limx→af(x), implica en realidad , tres condiciones

La función esta definida en x= a:∞ f(a)

Existe el limite

Y es finito: ∞limx→af(x)eR.

Funciones a Trozos

Las Funciones habituales definidas por una sola expresión analítica son continuas en todos los puntos en los que están definidas, por el contrario, las funciones definidas a trozos pueden presentar discontinuidades en los puntos de cambio de rama.

son el resultado de un limite y representa la pendiente de la recta tangente a la grafica de la función en un punto

Todos los métodos que se necesitan para realizar calculo de derivadas de una determinada función. Estas reglas son la base del conocimiento para realizar correctamente las operaciones.

Metodos

Derivada de suma

Es la derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivas de cada una

f(x)= u+v f(x)=u+v

Ejemplo

Derivada de una constante por una función

Es la derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

f(x)=a*(x3)

Ejemplo

Derivada de un producto

Es la derivada de un producto de dos funciones es igual a la suma entre el producto, de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar.

z(x)=f(x)* g(x)

Ejemplo

La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de una función en un determinado punto. Es decir , que tan rápido se este produciendo una variación. desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente recta tangente al punto donde se ubica X.

Funciones Trascendentes

Es aquella que no es polinomica, o que no se puede ser expresada como una serie finita de operaciones algebraica.

Tipos

Exponenciales

Logarítmicas

Trigonométricas

Trigonométricas Inversas

Derivadas Implícitas

Una función es implícita, cuando n la expresión no aparece despejada la "y" si no que la expresión esta definida en función de dos variables, cuyo segundo termino es igual a cero 2x+3y-5xy=0

Una derivada de orden superior, es aquella expresión que puede ser algebraica o trascendente a la cual es posible derivarla

Razon de cambio

La razón de cambio es el resultado de una medida que cambia de función de otra. En nuestras vidas cotidiana son muchas las magnitudes que se pueden analizar a partir del estudio de la razón dé cambio.

Para resolver problemas sobre razón de cambio, se siguiere realizar los siguientes pasos.

1. Hacer un dibujo o grafica que ilustre el problema a resolver

2. Identificar las magnitudes que ilustre el problema a resolver

3.Verificar cuales variables son conocidas y cuales son desconocidas

4.Establecer la ecuación en la cual se relacionan todas las variables que intervienen en el problema.

5.Darle solución al problema a través de la derivación implícita

Entre los valores que pueden tener una función f(x), `pueden haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. a esto valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos

Una función f(x) es creciente , si para cualquier para de números a,b se cumple que : si a <b entonces f(a)<f(b)

Optimización

Permite Obtener

Valores Maximos

Pueden ser de tipo Extremo Local o relativos

Se evalúan Puntos Fronteras

Se Obtiene por puntos Críticos

Valores Minimos

Extremos Absolutos

Primera Derivada

Puede Ser

Positivas

Función Crecientes

Negativas

Función Decreciente

Segunda derivada

Puede Ser

Menor a cero

Función Cóncava hacia arriba

Mayor a Cero

Función Cóncava hacia abajo