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la derivada es el límite del cociente entre el incremento de una función y el de la variable cuando este último tiende a cero. la derivada de una función en un punto mide en coeficiente por el cual el valor de la función cambia cuando la entrada de la función cambia, es uno de los dos conceptos centrales del cálculo.

Sirve para calcular los puntos donde la pendiente es cero para buscar máximos y mínimos, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio, también se usa para determinar propiedades geométricas de funciones como concavidad o convexidad.

F (a)= Lim f (x) f(a)
X- a x- a

Es la derivada de una función transcendente algebraica en el sentido de que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicaciones, división y potenciación a exponentes de constantes reales.

Existen tres tipos de funciones transcendente:
1. La exponencial F(x )= ex. La función ( x )= ex esta definida para todos los reales es una función continua, creciente y, por tanto, invertible. Ejemplo: Lim F(x) – f(x°)= Lim ex
ex°= ex°
x-x° x- x° x-x° x-x°
2. La logarítmicas: la función F(x)= log (x) esta definida para todas los reales positivos. Mostremos que es derivable en todo positivo x° y que además su derivada en ese punto es igual a 1- x°
3. Trigonometría: La trigonometría es la parte de la matemática que se encarga de estudiar y medir los triángulos, las relaciones entre sus ángulos y lados, y sus funciones trigonométricas deseno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante

Si una función f es derivable entonces podemos decir que f es su primera derivada; sin embargo , suele ocurrir que esta nueva función es a su vez derivable por lo que a la deriva de la primera derivada la denominamos segunda derivada de la función f del mismo modo, la derivada de la segunda derivada la llamamos la tercera derivada de f y asi sucesivamente hasta la enésima derivada. La notación para representar las derivadas sucesivas es la siguiente:
F´(x) , f´´(x), f´´(x),…,fn (x)
Dy, d2y, d3y ,…dny
Dx dx2 dx3 dxn
Y´, y´´, y´´´,…,yn

Sea f una función definida en algún intervalo I con inferior no vacío; este puede ser abierto, cerrado o semiabierto decimos, que f tiene un valor máximo local o un valor máximo relativo en un punto a de I si existe un intervalo de la forma ( a- r, a + r) tal que f(x) < f(a) para todo punto x EI que pertenezca a (a- r, a + r). de forma similar tiene un valor mínimo local o mínimo relativo en a.

Una de las aplicaciones de la derivada es la resolución de problemas de optimización en especial cuando estas se traducen en la determinación de los valores máximo y mínimo de alguna función.

F(x)= 2x2- 4x -1

A las expresiones matemáticas en las que aparecen los símbolos <,>,< y > se les conoce como desigualdades. La resolución de una desigualdad es cualquier numero que la hace cierta y al conjunto de todas las soluciones se le conoce como conjunto de solución.

Las reglas que se siguen para la resolución de una desigualdad son las mismas que las empleadas para resolver una ecuación; sin embargo, estas tienen una propiedad muy importante cuando se multiplica o divide la desigualdad por un numero negativo, esta cambia en el sentido de la desigualdad.

1. Lineales
2. Lineales doble
3. cuadráticas
4. racionales

Las funciones son ciertos tipos de relaciones en las que se conservan una suerte de canonicidad simple en la composición, de tal manera que los elementos correlacionados se sitúan dentro del ámbito de lo uno y no dentro del ámbito de lo múltiple. Desde comienzo del siglo XIX. Toda la matemática moderna depende en forma imprescindible del concepto de función.

Uno de los intereses básicos de las funciones consiste en poder comparar gracias a ellas ciertos conjuntos o estructuras.

Inyectiva: si y solo toda imagen posee a lo sumo una preimagen, es decir formalmente Aa Aa b ( f ( a ) = f (b ) – a´ = b )
Sobreyectiva: si y solo si todo elemento del conjunto de llegada posee al menos una preimagen es decir, formalmente. Ab (b E B – E a E A ( b= f( a))).
Biyectiva: si y solo si la relación F – 1 es función. Si y solo si f es a la vez 1-1 y sobre.

Es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

Es fundamental en el calculo de la pendiente de una recta tangente, a una curva sirven para calcular hasta donde una función tendrá su limite exacto, para realizar estimaciones explican lo que en realidad un velocímetro muestra en un automóvil.

Lim f (x) = L
X- x°

Una función F es continua en un punto X° cuando existe el limite de la función en X° y coincide con el valor que toma la función en X°.

Se dice que una función es continua cunado es posible hacer su grafica sin sin separar el lápiz del papel, esto sirve para una idea intuitiva de su significado continuidad cuando su grafica puede ser constituida con un solo trazo.

Fes continua en X° - Lim f (x) = f (x°)
x- x°