Elasticidad lineal

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Elasticidad lineal

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Restricciones en las constantes elásticas

Las constantes que caracterizan el comportamiento elástico de los cuerpos is´otropos no pueden tener valores aleatorios. Existen algunas restricciones que siempre deben de cumplir, unas basadas en argumentos mas o menos físicos y otras en argumentos de tipo matemático.

Un camino “físico” consiste en considerar los ensayos mas sencillos: el de tracción uniaxial, el de cortante puro y el de compresión volumetrica. En el primero, nuestra experiencia nos dice que al estirar una barra de material elástico, ´esta siempre se alarga, asi que concluimos que E > 0. En el segundo ensayo, también tenemos la experiencia de que al cizallar un cuerpo, este se deforma en el sentido de la tensión, así pues µ > 0. Por ´ultimo, al comprimir (sin cambio de forma) un cuerpo, su volumen disminuye siempre, as´ı que E > 0. A partir de estas tres experiencias y las relaciones entre las constantes elásticas podemos deducir las restricciones de las demás constantes elásticas

La ecuación de Lame

La ecuación permite calcular la deformación " en función de la tensión y en esta sección invertimos esta expresión para encontrar una formula de la tensión en función de la deformación.

Respuesta general

A partir del modulo de Young y el coeficiente de Poisson se puede obtener la relación tensión-deformación en un punto sometido a un estado tensional arbitrario, encontrando la llamada ley de Hockey generalizada, pues extiende al continuo la relación elástica de los resortes.

Ensayo uniaxial de tracción

El único ensayo que se necesita para caracterizar materiales is´otropos es el de tracción uniaxial. Una barra recta, cilíndrica de longitud L0, se tracción a aplicando un tensión normal en las caras rectas del cilindro y se mide la longitud L de la barra deformada

La deformación longitudinal Ex se puede calcular mediante la expresión Ex = (L Lo)/Lo y se define el modulo de Young del material mediante la relación

La relación local entre tensiones y deformaciones es el problema central de la mecánica de sólidos. Si bien las ecuaciones de equilibrio y la relación desplazamiento-deformación son resultados matemáticos que no son discutibles una vez aceptadas las hipótesis de partida, la relación entre tensión y deformación, las llamadas leyes constitutivas

La formulación de las ecuaciones constitutivas se logra mediante ensayos experimentales en los que se somete un cuerpo a un estado de tensión/deformación homogéneo y se deducen a partir de ahí consecuencias puntuales

Elasticidad lineal isotropa

En primer lugar, la relación constitutiva elástica mas sencilla que existe, a saber, la de los cuerpos isotropos, aquellos en los que la respuesta no depende de la dirección.

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Los modelos elasticos

Una consecuencia inmediata de la hipótesis de linealidad es lo que se conoce como el principio de superposición: la tensión debida a la superposiciones de dos deformaciones es la suma de las tensiones correspondientes, es decir, que para toda pareja A, B, R.

El problema fundamental de la mecánica de sólidos es la formulación de modelos constitutivos, es decir, expresiones funcionales que permitan calcular el valor de la tensión en un punto a partir del valor de la deformación " en ese instante y en todos los anteriores.

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Dentro de todos los materiales elásticos, un subconjunto de ellos consiste en aquellos en los que la función f

(tensión , t) = f(E(, t)) .

Deformación y tensiones proporcionales

En un ensayo uniaxial, una tension de traccion provoca una deformacion en direccion de las tensiones aplicadas. En general esto no es asi y un punto sometido a un estado tensional experimenta una deformacion E que no es proporcional a la tension, es decir, E = wo