av DILAN STEWART ESCOBAR IBARGUEN för 16 timmar sedan
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Mecánica cuántica: Se usa para calcular valores esperados de observables como la posición o el momento de una partícula. Termodinámica y dinámica de fluidos: Para modelar el comportamiento de partículas en un gas o líquido. Procesos de Markov: Se usa en sistemas donde el futuro depende del presente, como modelos climáticos o tráfico vehicular.
En mecánica cuántica, la esperanza matemática de la posición de una partícula está dada por la integral de su función de onda: 𝐸(𝑋)=∫ desde−∞ hasta ∞ de (𝑥 * 𝑓(x)) dx
Epidemiología: Se usa para modelar la propagación de enfermedades y predecir la cantidad esperada de infecciones. Farmacología: Se aplica en ensayos clínicos para analizar la efectividad esperada de un medicamento. Genética: Para calcular la probabilidad esperada de heredar ciertas características.
Si un medicamento tiene un 80% de probabilidad de curar una enfermedad y un 20% de no hacer efecto, la esperanza matemática del número de pacientes curados en un ensayo con 100 personas es: 𝐸(𝑋)=100×0.8=80 Esto indica que se espera que 80 de cada 100 pacientes se curen con el tratamiento.
Cálculo de apuestas justas: Se usa para diseñar juegos de azar equilibrados y establecer estrategias óptimas en casinos. Estrategias en juegos como el póker: Se usa para calcular la mejor jugada considerando el valor esperado de cada opción.
En una ruleta con 38 números, la apuesta a un solo número paga 35:1. La esperanza matemática es negativa, lo que indica que el casino tiene ventaja: 𝐸(𝑋)=(1/38×35)+(37/38×(−1))=−0.0526 Esto significa que, en promedio, se pierde 5.26 centavos por cada dólar apostado.
Estudios de mercado: Se usa para predecir el comportamiento de los consumidores basándose en datos históricos. Análisis de riesgos: Para evaluar riesgos en proyectos empresariales o estrategias gubernamentales. Inferencia estadística: Se usa para estimar parámetros poblacionales a partir de muestras.
Si se quiere calcular el ingreso promedio esperado de una población, se toma una muestra y se calcula la esperanza matemática de los ingresos observados.
Redes neuronales: La esperanza matemática se usa en algoritmos de aprendizaje automático para ajustar pesos y minimizar errores. Procesos de toma de decisiones: Se aplica en aprendizaje por refuerzo, donde un agente aprende a maximizar su recompensa esperada. Visión por computadora y reconocimiento de patrones: Para predecir el valor más probable de un conjunto de datos.
Un coche autónomo usa la esperanza matemática de colisiones para decidir si frenar o continuar.
Valoración de inversiones: Se usa para calcular el rendimiento esperado de acciones, bonos y otros activos financieros. Valoración de seguros: Las compañías de seguros calculan la esperanza matemática de los riesgos para fijar precios de pólizas. Decisiones económicas: Se aplica en la teoría de la utilidad esperada para modelar cómo las personas toman decisiones bajo incertidumbre.
Si una inversión tiene un 50% de probabilidad de ganar $10,000 y un 50% de perder $5,000, la esperanza matemática es: 𝐸(𝑋)=(0.5×10,000)+(0.5×(−5,000))=2,500 Esto indica que, en promedio, esperarías ganar $2,500 por cada inversión de este tipo.
Para saber ¿Qué juegos jugaría una persona y ¿Cuánto estaría dispuesto como máximo a pagar? Se utiliza el concepto llamado Utilidad esperada
Utilidad esperada
La utilidad esperada es un concepto de la teoría de la decisión que mide cómo las personas toman decisiones en situaciones de incertidumbre, considerando no solo las ganancias monetarias, sino también su percepción subjetiva de esas ganancias. Fue introducida formalmente por Daniel Bernoulli en 1738 para resolver la paradoja de San Petersburgo.
Si la utilidad que recibe una persona para conseguir un Ferrari es de 100 entonces en el hipotético caso que esta persona tenga un 70% de probabilidades de obtener ese Ferrari y 30% de no ganar nada la utilidad esperada que tendría esta persona seria de: UE= 100*70%+0*30%=70
Cálculo de la Utilidad Esperada
E[U(X)]= i=1∑n de (Pi * U(Xi))
Donde: Pi es la probabilidad de cada posible resultado Xi es la cantidad de dinero ganada en cada resultado U(Xi) es la función de utilidad aplicada al dinero
Diferencia entre Valor Esperado y Utilidad Esperada
Valor esperado (esperanza matemática): Es el promedio ponderado de las ganancias posibles, considerando solo los números. Utilidad esperada: En lugar de considerar solo el dinero, se mide cuánto "valor" o "satisfacción" obtiene una persona de cada posible resultado.
Ejemplo
Ganar 1000 dólares puede ser increíblemente valioso para alguien con pocos recursos. Para un millonario, la misma cantidad puede no significar mucho. Esto sugiere que las personas no valoran el dinero linealmente, sino con una función que refleja su percepción subjetiva.
Publicado en 1657 y considerado el primer tratado sobre la probabilidad, realizado por Huygens tras enterarse de las conversaciones (por cartas) que tenían Pascal y Fermat por su maestro Frans van Schooten que trataba sobre como dividir apuestas en un juego interrumpido (problema de los puntos), lo que hizo que lo animo a estructurarlas en un tratado matemático formal y no solo recopilándolos sino que los amplio y generalizo, estableciendo un métodos sistemático para resolver problemas de azar.
Problemas y Soluciones
Subtopic
Definiciones y Principios Generales
Introducción de la Fórmula de Valor Esperado
Huygens estructura matemáticamente la fórmula para el cálculo de la esperanza matemática, que hoy en día usamos para variables aleatorias. E(x)=∑ n con i=1 de (p_i * Xi)
En un dado de 6 caras, si el premio es igual al número que salga, la esperanza matemática sería: E(x)= (1/6*1)+(1/6*2)+(1/6*3)+(1/6*4)+(1/6*5)+(1/6*6) E(x)= 3.5
Uso de Probabilidades en el Cálculo de Pagos
Huygens afirma que la cantidad justa que un jugador debería pagar para participar en un juego debe ser igual a su esperanza matemática.
Si un jugador tiene una esperanza matemática de 8 monedas, entonces no debería pagar más de 8 monedas para participar en el juego.
Dato curioso: Esta idea es la base del cálculo de primas en seguros, precios de opciones en mercados financieros y valoración de apuestas.
Definición de esperanza matemática
Definición en términos de Huygens
Huygens definió la esperanza matemática más en términos de justicia en los juegos de azar manteniendo una idea clave de; "Si un jugador tiene varias oportunidades de ganar cantidades diferentes, su pago justo para participar en el juego debe ser igual a su esperanza matemática".
Huygens hace uso de postulados para llegar a la formula de la esperanza matemática de la siguiente manera.
Postulado 5: Esperanza total en juegos independientes
Si un jugador participa en varios juegos independientes, su esperanza total es la suma de las esperanzas individuales de cada juego.
Si un jugador participa en dos juegos con esperanzas de: 4 monedas en el primer juego 6 monedas en el segundo juego Entonces, su esperanza total es: 𝐸(𝑋)=4+6=10 Este postulado introduce la linealidad de la esperanza matemática, un principio fundamental en probabilidad.
Postulado 4: Suma de cantidades fijas a la esperanza matemática
Si un jugador recibe una cantidad fija sin importar el resultado del juego, esa cantidad se suma a su esperanza matemática.
Si un jugador tiene una esperanza de 4 monedas, pero además recibe 2 monedas extra, su nueva esperanza es: 𝐸(𝑋)=4+2=6 Esto ayuda a calcular pagos adicionales o premios garantizados en juegos de azar.
Postulado 3:Juegos justos y equivalencia de posiciones
Si un jugador puede intercambiar su posición con otro que tiene la misma esperanza matemática, el juego sigue siendo justo.
Dos jugadores tienen estas expectativas: Jugador A espera ganar 5 monedas. Jugador B espera ganar 5 monedas. Si intercambian posiciones, nada cambia, ya que ambos tienen la misma esperanza matemática. Este postulado refuerza la idea de que el valor justo de una apuesta es su esperanza matemática.
Postulado 2: Esperanza matemática con probabilidades diferentes
Si un jugador puede obtener varias ganancias con diferentes probabilidades, su esperanza matemática es la suma ponderada de cada ganancia por su probabilidad.
Si un jugador tiene: 1/4 de probabilidad de ganar 8 monedas 3/4 de probabilidad de ganar 2 monedas Entonces su esperanza matemática es: 𝐸(𝑋)=(1/4×8)+(3/4×2) 𝐸(𝑋)=2+1.5=3.5 Aquí Huygens generaliza el primer postulado, permitiendo probabilidades desiguales
Postulado 1: Valor esperado en situaciones equiprobables
Si hay varias formas igualmente probables de obtener una ganancia, el valor esperado es el promedio de esas ganancias.
Supongamos que un jugador puede ganar 2,4 o 6 monedas, y cada resultado ocurre con la misma probabilidad (1/3 cada uno) el valor esperado se calcula así: E(x)= (2+4+6)/3 = 12/3 = 4 Y asi Huygens introduce la idea de que el valor esperado es un promedio ponderado de las ganancias posibles.
Definición moderna
Huygens formaliza el concepto de esperanza matemática como la cantidad que un jugador debería esperar ganar en promedio. 𝐸(𝑋)=𝑝1𝑎1+𝑝2𝑎2+⋯+𝑝𝑛𝑎𝑛
Ejemplo: Si un jugador tiene un 50% de probabilidad de ganar 10 monedas y un 50% de perder 4 monedas, su esperanza matemática es: 𝐸(𝑋)=(1/2×10)+(1/2×(−4)) 𝐸(𝑋)=5−2=3
Definición de juego justo
Huygens establece que un juego es justo si todas las partes involucradas tienen la misma expectativa matemática de ganancia.
Si dos jugadores apuestan la misma cantidad y tienen la misma probabilidad de ganar, el juego es justo. Pero si uno tiene más probabilidades de ganar que el otro, el juego es injusto.
Dato curioso: Esto lleva al concepto de equidad en los juegos de azar, lo que más tarde influirá en la teoría de decisiones y economía.
Casos "improbables"
Son aquellos que no pueden ser replicados en la realidad, pero no son anomalías, dado que, la Esperanza Matemática no necesariamente representa un valor que deba ocurrir en la realidad, sino un promedio teórico del valor que se "espera" sacar, por lo que es posible que no de resultados que sean posibles en la realidad.
Ejemplo: Dado de 6 caras
La esperanza matemática de lanzar un dado de 6 caras es 3.5, pero nunca obtendremos un 3.5 en un solo lanzamiento. Sin embargo, si lanzamos el dado muchas veces y calculamos el promedio de los resultados, este se acercará a 3.5.
Variables Aleatorias Discretas
Si 𝑋 es una variable aleatoria discreta con posibles valores 𝑥1,𝑥2,...,𝑥𝑛 y sus respectivas probabilidades 𝑃(𝑋=𝑥𝑖), la esperanza matemática se define como: 𝐸(𝑋)=∑ n con i=1 de 𝑥𝑖*P(X=𝑥𝑖)
Supongamos que lanzamos un dado equilibrado de 6 caras. La variable aleatoria 𝑋 representa el número obtenido. Cada número tiene probabilidad 1/6. E(X)=(1*1/6)+(2*1/6)+(3*1/6)+(4*1/6)+(5*1/6)+(6*1/6) E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3.5
Una variable aleatoria discreta es aquella que solo puede tomar un conjunto finito o numerable de valores específicos.
Sus valores son enumerables (se pueden contar uno a uno). Se pueden describir mediante una función de masa de probabilidad (PMF, por sus siglas en inglés). La probabilidad de cada valor específico se calcula directamente.
E(X)=∑ de Xi * P(Xi)
Donde; E(X) es la esperanza matemática calculada para un evento aleatorio Xi es Valor específico que puede tomar la variable aleatoria P(Xi) es probabilidad de que X tome el valor Xi. cada P(X=xi) debe cumplir que 0≤P(X=xi)≤1 y que la suma de todas las probabilidades sea 1 ∑ es la sumatoria del producto entre ((Xi * P(Xi))
Supongamos que elegimos una familia al azar y definimos la variable aleatoria 𝑋 como el número de hijos que tiene. Esta es una variable aleatoria discreta porque solo puede tomar valores enteros: 0, 1, 2, 3, ... n (no es posible tener 2.5 hijos). Suponiendo (de manera hipotética) la distribución de probabilidades de la siguiente manera; 0 hijos = 0.10 1 hijos = 0.25 2 hijos = 0.40 3 hijos = 0.20 4 hijos = 0.05 su calculo de esperanza matemática E(X) es; E(X)=(0*0.10)+(1*0.25)+(2*0.40)+(3*0.20)+(4*0.05) E(X)=0+0.25+0.80+0.60+0.20=1.85 La esperanza matemática es 1.85 hijos, pero esto no significa que una familia pueda tener 1.85 hijos en la realidad. Significa que si tomamos muchas familias y calculamos el promedio de hijos, se acercará a 1.85.
Variables Aleatorias Continuas
Definición Formal
Si 𝑋 es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad 𝑓(𝑥), la esperanza matemática se calcula como: E(X)=∫ desde −∞ hasta ∞ (x*f(x)) dx
Si 𝑋 representa la altura de personas en una población y sigue una distribución normal, la esperanza matemática 𝐸(𝑋) será la altura promedio de todas las personas.
Una variable aleatoria continua puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo.
Características
Puede tomar un número infinito de valores dentro de un intervalo. No se pueden calcular probabilidades de un solo punto P(X=x)=0), sino de intervalos. Se describe con una función de densidad de probabilidad (PDF, Probability Density Function).
Función de Densidad de Probabilidad (FDP)
Es la función matemática que describe cómo se distribuyen los valores de una variable aleatoria continua, osea la F.D.P nos indica que tan probable es que la variable aleatoria X tome valores en un cierto rango y al integrarla en un intervalo da la probabilidad de que la variable esté dentro de ese rango. 𝑃(𝑎≤𝑋≤𝑏)=∫ de 𝑎 hasta 𝑏 de (𝑓(𝑥))𝑑𝑥
Ejemplo 2
Supongamos que una variable aleatoria 𝑋 representa el tiempo de espera en minutos para un autobús, que sigue una distribución uniforme entre 0 y 10 minutos. La f.d.p. de 𝑋 es: 𝑓(𝑥)={1/10, 0≤𝑥≤10 0, en otro caso ¿Cuál es la probabilidad de esperar entre 2 y 5 minutos? 𝑃(2≤𝑋≤5)=∫ de 2 hasta 5 de (1/10) 𝑑𝑥 𝑃(2≤𝑋≤5)=1/10(5−2)=3/10=0.3 Interpretación: Hay un 30% de probabilidad de que el tiempo de espera esté entre 2 y 5 minutos.
Ejemplo 1
Ejemplo 3: Distribución Uniforme 𝑈(0,1) Si 𝑋 sigue una distribución uniforme entre 0 y 1, su PDF es: 𝑓(𝑥)={1, 0≤𝑥≤1 0, en otro caso Para calcular la probabilidad de que 𝑋 esté entre 0.2 y 0.8: 𝑃(0.2≤𝑋≤0.8)= ∫ de 0.2 hasta 0.81 𝑑𝑥 = (0.8−0.2) = 0.6
Formula
E(X) = ∫ de −∞ hasta ∞ de (x * f(x)) dx
Donde; E(X): Esperanza matemática o valor esperado de 𝑋. Representa el promedio ponderado de todos los valores posibles de 𝑋. ∫ de −∞ hasta ∞ Integral definida que suma todos los valores posibles de 𝑋 en su dominio. Se usa en lugar de la suma porque 𝑋 puede tomar infinitos valores. x: Valor especifico que puede tomar la variable aleatoria. f(x): Función de densidad de probabilidad (f.d.p.) de 𝑋, que describe qué tan probable es que 𝑋 tome un valor cercano a 𝑥. dx: Diferencial de integración que indica que estamos sumando sobre todos los valores continuos de 𝑋.
Función de densidad de probabilidad
Caracteristicas
No da probabilidades directas: A diferencia de las variables discretas, donde la función de probabilidad 𝑃(𝑋=𝑥) nos dice la probabilidad exacta de un valor, en el caso continuo la probabilidad de un valor exacto es cero. En su lugar, la f.d.p. nos permite calcular la probabilidad de que 𝑋 esté en un intervalo.
La altura de una persona es una variable continua porque puede tomar valores como 170.2 cm, 170.23 cm, 170.231 cm, etc.
Marin Mersenne (1588-1648): Matemático francés que discutió problemas de probabilidad con varios científicos de su época, lo que ayudó a que Fermat y Pascal tomaran interés en el tema.
El conector intelectual
Fue un gran comunicador entre los matemáticos de su época. Discutió problemas de juegos de azar con Fermat, Pascal y otros científicos. Investigó las probabilidades en juegos de dados y otros juegos de azar.
Si bien Mersenne no publicó grandes teorías de probabilidad, sus correspondencias con Fermat y Pascal los motivaron a desarrollar el concepto de esperanza matemática y el análisis formal de la probabilidad.
Thomas Harriot (1560-1621): Matemático inglés que trabajó en combinatoria y probabilidad, aunque no publicó sus hallazgos.
Cálculo de combinaciones y probabilidad
Trabajó en conteos combinatorios al analizar cómo se pueden organizar distintos conjuntos de objetos. Estudió el problema de los dados, analizando las probabilidades de obtener ciertos resultados al lanzarlos.
Si se lanzan dos dados, ¿cuántas maneras hay de obtener un total de 7? Harriot identificó correctamente que hay 6 combinaciones posibles para obtener 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) Este tipo de razonamiento combinatorio es fundamental para el cálculo de probabilidades. Nota: Sus ideas influyeron indirectamente en la teoría de la probabilidad, pero nunca publicó sus hallazgos. Sus notas fueron descubiertas y analizadas tiempo después.
Cardano (siglo XVI): Gerolamo Cardano (1501-1576) fue uno de los primeros en aplicar matemáticamente la probabilidad en juegos de azar. Escribió un manuscrito llamado Liber de Ludo Aleae (Libro de los Juegos de Azar), en el cual discutía la probabilidad de ciertos eventos en los juegos de dados, aunque el libro fue publicado póstumamente en 1663.
Gerolamo Cardano: Pionero de la Probabilidad y la esperanza Matemáticas
Gerolamo Cardano (1501-1576) fue un médico, matemático, astrólogo e inventor italiano del Renacimiento. Se le reconoce como uno de los primeros en estudiar formalmente la probabilidad, décadas antes que Pascal, Fermat y Huygens.
Análisis de errores comunes en juegos de azar
Además de su explicación de como los jugadores suelen "sobreestimar sus probabilidades de ganar"
La ludopatía o trastorno del juego es el impulso incontrolable de seguir apostando sin importa las consecuencias que eso tenga en tu vida, cosa que se ve muy claro en el siguiente fragmentó de una película llamada en español como "El Apostador": https://www.youtube.com/watch?v=_VBo7uc1i2k
Advirtió sobre la "la falacia del jugador", es decir, la creencia de que un evento pasado afecta eventos futuros.
En el lanzamiento de una moneda pensar que despues de sacar 5 veces cara en la siguiente debe salir cruz.
Introducción de la "justicia" en los juegos de azar
Cardano fue el primero en hablar sobre juegos justos e injustos, dependiendo de si los jugadores tienen las mismas probabilidades de ganar a largo plazo, osea que un juego es "justo" si cada jugador tiene una ganancia esperada igual al costo de la apuesta, por el contrario un juego es "injusto" cuando un jugador paga más de lo que puede ganar en promedio.
Juego A: Se apuesta 5 monedas y tenemos una probabilidad de 1/2 de ganar 10 monedas y 1/2 de perder. E(X)= (1/2*10)+(1/2*0)=5 Dado que el valor esperado es igual al costo de la apuesta el juego es justo. Juego B: apostamos 6 monedas y tenemos una probabilidad de 1/2 ganar 10 y 1/2 de perder. E(X)= (1/2*10)+(1/2*0)=5 El valor esperado es 5, pero como pagamos 6 monedas el juego termina siendo injusto.
Idéntica el concepto de esperanza matemática (Liber de Ludo Aleae (Libro de los Juegos de Azar))
Apesar de no formalizarla con una fórmula, entendió la importancia de calcular valores esperados en juegos de azar.
ejemplo
En un juego donde puedes ganar 10 monedas con probabilidad 1/2 y 20 monedas con probabilidad de 1/2, el valor esperado sería: E(X) = (1/2*10) + (1/2*20) = 5+10=15 Nota: Cardano NO realizo estas formulas no obstante describió el calculo y su importancia en los juegos de azar
Creador de bases solidas para la estadística básica.
siendo su obra mas relevante en este campo es Liber de Ludo Aleae (Libro de los Juegos de Azar), escrita alrededor de 1564, pero publicada en 1663, definiendo la probabilidad como la razón entre casos favorables y posibles.
En un dado de 6 caras, la probabilidad de sacar un 3 es 1/6, al igual que en los demás números, osea que cada cara del dado de 6 lado tiene una probabilidad de salir de 1/6.
Galileo Galilei (1564-1642): Analizó matemáticamente juegos de dados y propuso explicaciones sobre la frecuencia de ciertos resultados.
La probabilidad en dados
Galileo estudió juegos de dados y explicó por qué ciertos resultados son más probables que otros.
¿Por qué al lanzar tres dados es más probable obtener una suma de 10 que una de 9? Nota: Aunque ambos números tienen la misma cantidad de combinaciones en teoría, los arreglos específicos de números que suman 10 son más frecuentes.
A pesar de la influencia del pensamiento religioso en la Edad Media, algunos eruditos comenzaron a desarrollar conceptos más formales relacionados con la probabilidad.
Luca Pacioli (1447-1517) y el problema de la división de apuestas.
Era un matemático italiano conocido por su obra Summa de Arithmetica (1494), planteó un problema sobre cómo dividir una apuesta cuando un juego se interrumpe antes de terminar.
Dos jugadores apuestan en un juego en el que el primero que gane 6 rondas se lleva el premio. ¿Cómo dividir el dinero si el juego se interrumpe cuando uno ha ganado 5 rondas y el otro 3?
Error de Pacioli: Propuso dividir el dinero en partes proporcionales a las rondas ganadas hasta el momento, sin considerar las probabilidades futuras de ganar.
Al-Khwarizmi (siglo IX d.C.): Matemático persa que introdujo el álgebra y discutió temas de combinatoria, fundamentales para el desarrollo de la probabilidad. Fibonacci (siglo XIII): En su libro Liber Abaci (1202), Fibonacci estudió problemas de combinatoria en juegos de azar, lo que sugiere una comprensión primitiva de la probabilidad.
Las primeras manifestaciones del concepto de probabilidad no fueron matemáticas, sino prácticas y relacionadas con juegos de azar y adivinación, sin embargo, mantener presenta que no se trataba como una disciplina matemática, sino como parte de la superstición o la filosofía.
Ejemplo
Egipto y Mesopotamia (2000 a.C.): Usaban dados de hueso y conchas en juegos de azar y para hacer predicciones. Aunque no analizaban probabilidades en términos matemáticos, tenían cierta idea de qué resultados eran más probables. China (siglo III a.C.): En el "Libro de los cambios" (I Ching), hay nociones rudimentarias de combinaciones y eventos aleatorios. India (siglo VI d.C.): En textos matemáticos como el Lokavibhaga, hay registros de cálculos sobre combinaciones en juegos de dados.
