Wilda Auliarahmah
20029041
Subtopic
GEOMETRI TRANSFORMASI
Transformasi Balikan
Soal
Jika g sebuah garis dan A sebuah titik, tenukan baliakan transformasi Wg :
Jawab :
A ϵ g, jjika A ϵ V, maka IA = A
IA = A
[Wg-1. Wg](A) = A
Wg-1[ Wg(A)] = A
Wg-1(A) = A
A bukan ϵ g, maka Wg (A)= A’ = ½ h = ½ A
h tegak lurus g dari A
Maka, Wg-1(A) = Vg(A)
Balikan setiap pencerminan pada garis adalah pencerminan itu sendiri
Teorema (6.3)
Involusi
balikan transformasi adalah dirinya sendiri
Setiap transformasimemiliki hanya satu balikan
Teorema (6.2)
TI = IT = T
Definisi secara geometris
Setiap transformasi T memilikibalikan (invers)
(Teorema 6.1)
Hasilkali Transformasi
Soal
Diketahui h adalah sumbu –x dan g adalah sumbu –y sebuah sumbu sistem orthogonal. Diketahui A(4,-3) dan P(x,y). Tentukanlah :
a. Koordinat-koordinat MhMg (A) dan MgMh (A)
b. Koordinat-koordinat MhMg (P)
b. Koordinat-koordinat MhMg (P)
MhMg (P) = Mh [Mg (P)]
= Mh [Mg (x,y)]
= Mh (-x,y)
= (-x,-y)
a. Koordinat-koordinat MhMg (A)
MhMg (A) = Mh [Mg (A)]
= Mh [Mg (4,-3)]
= Mh (-4,-3)
= (-4,3)
Koordinat-koordinat MgMh (A)
MgMh (A) = Mg [Mh (A)]
= Mg [Mh (4,-3)]
= Mg (-4,-3)
= (-4,3)
Merupakan Transformasi, dengan pembuktian tiga sifat transformasi
(G○ F)(P) = G{F(P)}, ⱯP ϵ V
Definisi secara geometris :
Jika F : V → V dan G : V → V
Maka komposisinya G○ F dari F dan G
Isometri
Soal
Diketahui garis g ≡ {(x,y) | y = -x}dan garis h ≡ {(x,y) | y = 2x-3}apabila Mg adalah reflexi pada garis g tentukanlah persamaan garis h’ = Mg (h)
Jawab :
Karena Mg adalah sebuah reflexi pada gjadi suatu isometri, maka menurut teorema 4.1, h’ adalah sebuah garis.
Garis h’ akan melalui titik potong antara h dan g, misalnya R, sebab Mg (R) = R.
Jelas bahwa R(1,-1) : hakan melalui Q’ = Mg (Q).
Karena Q = (3/2 , 0) maka Q’ = (0, -3/2)
Sehingga persamaan h’ adalah h’ = {(x,y) | x-2y-3 = 0}
Sifat-sifat Isometri
(Teorema 4.1)
Mengawetkan kesejajaran dua garis
Mengawetkan sudut anatara dua garis
Memetakan garis jadi garis
Suatu pencerminan atau refleksipada sebuah garis g
adalah suatu transformasi yang mengawetkan jarak
dinamakan isometri
Pencerminan (Reflexi)
Soal
Diketahui g = {(x,y) | x = -3}
a. Apabila A(2,1) tentukan A’= Mg (A)
b. Tentukan C apabila Mg (C) = (-1,7)
Jawab :
a) g : x = -3 melalui A(2,1), y = 1. B(-3,1)
(-3,1) = ((x_A+ x_A' )/2,(y_A+y_A')/2)
= ((2+ x_(A^' ) )/2,(1+y_A')/2)
(-6,2) = (2+ x_(A^' ) ,1+y_A')
(xA’ , yA’) = (-8,1)
b) y = 7, titik D(-3,7)
(-3,7) = ((x_c+ x_c' )/2,(y_c+y_c')/2)
= ((x_c-1 )/2,(y_c+7)/2)
(-6,14) = (x_c-1,y_c+7)
(xc’ , yc’) = (-5,7)
Untuk menyelidiki sifat-sifat reflexi dapat dengan menyelidiki apakah pencerminan itu suatu transformasi
Setiap refleksipada garis adalah suatu isometric
(Teorema 3.2)
Setiap refleksipada garis adalah suatu transformasi
(Teorema 3.1)
Secara umum
Refleksi merupakan transformasi berupa pemindahan setiap titik pada objek geometri melewati sebuah cermin (sumbu)
Definisi secara geometris
Sebuah garis s adalah fungsi Ms untuk setiap titik pada bidang
Jika P ϵ s, maka Ms (P) = P
Jika P ∉ s, maka MS
Sehingga garis s adalah sumbu ruas garis PP’
Transformasi
Soal :
Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang Euclides V. A sebuah titik yang terletak ditengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah asal g yang didefinisikan sebagai berikut :
Apabila P ϵ g maka P’ = T(P) = PA Ո h
a. Apakah daerah nilai T ?
b. Apakah T injektif ?
Jawab :
a) Daerah nilai T adalah garis h
b) Akan dibuktikan T injektif
Ambil dua titik X dan Y pada g, dengan X ≠ Y. Akan ditunjukkan bahwa T(X) ≠ T(Y) dengan menggunakan kontradiksi.
Andaikan T(X) = T(Y), sehingga haruslah X = Y, hal ini menghasilkan kontradiksi, sebab awalnya dikatakan X ≠ Y. jadi pengendaian di ingkari. Dengan demikian, T(X) ≠ T(Y) dan dapat disimpulkan bahwa T injektif (Terbukti)
Tiga sifat Transformasi
Bijektif
Jika Surjektif dan Injektif
Surjektif
Pada B ϵ V
Ada A ϵ V
Sehingga B = T (A)
Injektif
Jika A1 ≠ A2
T(A1) = B1, T(A2) = B2
Maka B1 ≠ B2
f : V → V
Transformasi Kesebangunan
Transformasi dasarnya
Dilasi
Hasil kalidua dilasi adalah dilasi
(Teorema 14.3
Definisi
Diketahui sebuah titik A dan sebuah bilangan positif k. Suatu dilasiD dengan faktor skala k dan pusat A adalah padanan
• D(A) = A
• P ≠ A, D(P) = P’ adalah titik tengah sinar AP Sehingga AP’ = k(AP)
Definisi
Suatu transformasi T adalah suatu transformasi kesebangunan apabila ada sebuah konstanta k>0 sehingga untuk setiap pasang titik P,Q, jarak P’Q’ = KPQ dengan T(P) = P’ dan T(Q) =Q’
Isometri, jika k =1
Putaran (Rotasi)
komposisi putaran
Hasil kalidua rotasi adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi
(Teorema 11. 3)
Definisi
Sebuah sudut berarah adalah suatu sudut
yang salah satu kakinya ditentukan sebagai kaki awal
dan kaki yang ain sebagai kaki akhir
Geseran (Translasi)
Hasil kali geseran
Setiap geseran dapat diuraikan sebagai hasi kalidua setengah putaran
Jika G AB ssebuah geseran
maka invers G AB = G BA
Apabila ruas garis AB = ruas garis CD
Maka G AB = G CD
(Teorema 10.2)
Definisi
Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila
ada ruas garis berarah AB sehingga setiap titik P pada bidang
menjadiP’ dengan G(P) = P’ sehingga PP’ = AB
Setengah Putaran
invers Sa = Sa jika Sa setengah putaran
(Teorema 7.3)
Jika g dan h dua garis yang tegak lurus
maka MgMh = MhMg
(Teorema 7.2)
Andaikan A sebuah titik, g dan h dua garis
tegak lurus yang berpotongan di A
Maka Sa = MgMh
Definisisi
Sebuah setengah putaran pada suatu titik A adalah suatu padanan
Sa yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang
Sa (A) = A
Apabila P ≠ A maka Sa (P) = P
Sehingga A titik tengah ruas garis PP’
