Метод координат_у_просторі

Ver más

План вивчення теми з геометрії

por Людмила Киричок

Елементи векторної алгебри на площині і в просторі

por Анна Снігур

Основні побудови. Геометричне місце точок (ГМТ)

por Nadiia Kholod

Основні побудови. Геометричне місце точок (ГМТ)

por Nadiia Kholod

Метод координат у просторі

Відстань від точки до прямої

Означення 9.3. Відстань від точки до прямої – це довжина найкоротшого вектора, проведеного до прямої з цієї точки. Оскільки таким вектором є перпендикуляр, опущений на пряму, то відстань рівна довжині цього перпендикуляра. (Якщо дана точка лежить на прямій, то зрозуміло, що відстань від цієї точки до даної прямої дорівнює 0).

Якщо точка M_1=\{x_1;y_1;z_1 \}  – лежить на прямій l  з напрямним вектором \vec{p}=\{m;n;k\} , то відстань від точки M_0 \left(x_0,y_0,z_0 \right)  до прямої l  знаходять за формулою

d=\dfrac{|\vec{M_0M_1}\cdot \vec{p}|}{|\vec{p}|}

Главная тема

Відстань від точки до площини

Відстань від точки до площини

Означення 1. Відстань від точки до площини – це довжина найкоротшого вектора, проведеного до площини з цієї точки. Оскільки таким вектором є перпендикуляр, опущений на площину, то відстань рівна довжині цього перпендикуляра. (Якщо дана точка лежить на площині, то зрозуміло, що відстань від цієї точки до даної площини дорівнює $0$).

Відстань від точки до площини знаходять за формулою:

$d=\dfrac{| Ax_0+By_0+Cz_0+D |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$,

де $M\left( x,y,z \right)$ – точка простору, $Ax+By+Cz+D=0$ – рівняння даної площини.

Двогранний кут між площинами

Двогранний кут між площинами

Означення 1. Двогранним кутом між площинами, що перетинаються називають кут між прямими, проведеними в цих площинах перпендикулярно до лінії їх перетину. (Якщо дві площини паралельні, то, природно вважати, що кут між ними дорівнює $0 \degree$).

Означення 2. Якщо кут між площинами $\phi=90\degree$, то такі площини називають перпендикулярними.

Двогранний кут між площинами дорівнює куту утвореному нормальними векторами цих площин.

Тому, якщо $A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0$ і $A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0$ – задані площини, то кут між ними можна знайти, використовуючи наступні формули:

$\cos{\phi}=\dfrac{|A_1\cdot A_2+B_1\cdot B_2+C_1\cdot C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$.

$\phi=\arccos{\dfrac{|A_1\cdot A_2+B_1\cdot B_2+C_1\cdot C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}}.$

Взаємне розташування площин у просторі

Взаємне розташування площин у просторі

Існують різноманітні розташування площин у просторі, залежно від їх кількості. Розглянемо дане питання на прикладі двох або трьох площин.

3 площини

Взаємне розташування 3-х площин у просторі

Нехай дано три площини $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. $\vec{n_1}$, $\vec{n_2}$, $\vec{n_3}$ – відповідні нормальні вектори цих площин. Тоді можливі такі випадки розміщення цих площин у просторі:

• Всі три площини співпадають: $\alpha=\beta=\gamma$. Відповідно $\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\parallel\vec{n_3}$.
• Дві площини співпадають, а третя їм паралельна, наприклад: $\alpha\parallel\beta=\gamma$ і в цьому випадку $\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\parallel\vec{n_3}$.
• Дві площини співпадають, а третя їх перетинає, наприклад: $\alpha=\beta\cap\gamma=l$ – пряма перетину. Тут $\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\nparallel\vec{n_3}$.
• Всі три площини паралельні між собою: $\alpha\parallel\beta\parallel\gamma$. Тоді $\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\parallel\vec{n_3}$.
• Дві площини паралельні, а третя їх перетинає, наприклад: $\alpha\parallel\beta\nparallel\gamma$. В цьому випадку $\alpha\cap\gamma=l_1$ – пряма перетину площин $\alpha$ і $\gamma$, $\beta\cap\gamma=l_2$ – пряма перетину площин $\beta$ і $\gamma$ і, як відомо з курсу геометрії, $l_1\parallel l_2$. Нормальні вектори $\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\nparallel\vec{n_3}$ .
• Всі три площини перетинаються по одній прямій. $\alpha\cap\beta\cap\gamma=l$ – пряма перетину і тоді: $\vec{n_1}\nparallel\vec{n_2}\nparallel\vec{n_3}\nparallel\vec{n_1}$, але всі три вектори $\vec{n_1}$, $\vec{n_2}$ і $\vec{n_3}$ лежать в одній площині.
• Кожна пара площин перетинається по своїй прямій, утворюючи трикутну призму. $\alpha\cap\beta=l_1$ – пряма перетину площин $\alpha$ і $\beta$, $\beta\cap\gamma=l_2$ – пряма перетину площин $\beta$ і $\gamma$, а $\gamma\cap\alpha=l_3$ – пряма перетину площин $\gamma$ і $\alpha$. Тоді відповідно $l_1\parallel l_2\parallel l_3$. Зрозуміло, що $\vec{n_1}\nparallel\vec{n_2}\nparallel\vec{n_3}\nparallel\vec{n_1}$, але всі три вектори $\vec{n_1}$, $\vec{n_2}$ і $\vec{n_3}$ лежать в одній площині.
• Всі три площини перетинаються в одній точці. Тобто $\alpha\cap\beta\cap\gamma=M$ – точка перетину всіх трьох площин. Нормальні вектори цих площин у такому випадку некомпланарні.

2 площини

Взаємне розташування 2-х площин у просторі

Відомо, що якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій. Звідси випливає, що можливі три випадки розміщення двох площин в просторі:

Нехай дано дві площини $\alpha$ і $\beta$. $\vec{n_1}$ , $\vec{n_2}$ – відповідні нормальні вектори цих площин. Тоді можливі такі випадки розміщення двох площин у просторі:

• Площини співпадають: $\alpha=\beta$, $\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}$ .
• Площини не мають спільних точок (паралельні): $\alpha\parallel\beta$, $\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}$ .
• Площини перетинаються по одній спільній прямій. $\alpha\cap\beta=l$ – пряма їх перетину. Тоді $\vec{n_1}\nparallel\vec{n_2}$ .

Рівняння площини

Рівняння площини

Означення 1. Напрямними векторами площини називаються два неколінеарні вектори, які лежать у цій площині.

Означення 2. Нормальний вектор площини – це будь-який ненульовий вектор, що лежить на прямій перпендикулярній до даної площини.

Існують такі задання рівняння прямої:

• загальне рівняння площини;
• рівняння площини у відрізках;
• рівняння в'язки площин;
• рівняння площини, що проходить через 3 дані точки, що не лежать на одній прямій;
• нормальне рівняння площини;
• параметричне рівняння площини.

Розглянемо детально кожне з рівнянь, а також спробуємо записати їх у векторному вигляді.

Параметричне рівняння площини

Параметричне рівняння площини

$\begin{cases} x=x_0+\alpha_1 u+\alpha_2 v,\\ y=y_0+\beta_1 u+\beta_2 v,\\ z z=z_0+\gamma_1 u+\gamma_2 v. \end{cases}$

Тут $\left( x_0,y_0,z_0 \right)$ – деяка точка площини, $\left( \alpha_1,\beta_1,\gamma_1 \right)$ і $\left( \alpha_2,\beta_2,\gamma_2 \right)$ – координати напрямних векторів площини, $u$, $v$ – параметри.

У векторній формі:

$r=r_0+au+bv$, $\left( \left[a,b\right]\neq0 \right)$,

де $a$, $b$ – напрямні вектори площини, $r_0$ – радіус-вектор деякої фіксованої точки площини.

Це рівняння також можна записати у вигляді

$\left(r-r_0,a,b \right)=0$.

Тобто для того щоб вектор $r$ був радіус-вектором деякої точки площини необхідно, щоб вектори $r-r_0$, $a$ і $b$ лежали в одній площині, тобто їх мішаний добуток був рівний нулю.

Нормальне рівняння площини

Нормальне рівняння площини

$x \cos{\alpha}+y \cos{\beta}+z \cos{\gamma}-p=0$,

де $\left(\cos{\alpha}, \cos{\beta}, \cos{\gamma} \right)$ – координати одиничного нормального вектора, який опущено із початку координат на цю площину, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ – кути, які утворює цей вектор із відповідними координатними осями, а $p$ – довжина перпендикуляра, проведеного із початку координат до цієї площини.

У векторній формі:

$\left( r, N^0 \right)=0$,

де $N^0$ – одиничний нормальний вектор.

Рівняння площини через три точки

Рівняння площини, що проходить через три точки, які не лежать на одній прямій

$\begin{vmatrix} x-x_0&y-y_0&z-z_0\\ x_1-x_0&y_1-y_0&z_1-z_0\\ x_2-x_0&y_2-y_0&z_2-z_0 \end{vmatrix}=0$,

тут $M \left( x,y,z \right)$, $M_0 \left( x_0,y_0,z_0 \right)$, $M_1 \left( x_1,y_1,z_1 \right)$ і $M_2 \left( x_2,y_2,z_2 \right)$ – точки площини.

Рівняння площини, що проходить через 3 точки з відповідними радіус-векторами $r_0$, $r_1$ та $r_2$ можна записати у векторному вигляді:

$(r-r_0,r_1-r_0,r_2-r_0 )=0$.

Рівняння в'язки площин

Рівняння площини, що проходить через точку, перпендикулярно нормальному вектору (рівняння в’язки площин)

Щоб скласти рівняння площини, за координатами точки площини $M \left( x_0,y_0,z_0 \right)$ і нормального вектора $\vec{n}=\left( A;B;C \right)$ площини можна використати наступну формулу:

$A(x-x_0 )+B(y-y_0 )+C(z-z_0 )=0$.

У векторній формі:

$\left(r-r_0,\vec{n}\right)=0$ $\left( \vec{n} \neq 0 \right)$,

де $r_0$ – радіус-вектор деякої фіксованої точки площини, а $\vec{n}=\left( A;B;C \right)$ – нормальний вектор.

Рівняння площини у відрізках

Рівняння площини у відрізках



Якщо площина перетинає осі $Ox$, $Oy$ і $Oz$ в точках з координатами $\left( a,0,0 \right)$, $\left( 0,b,0 \right)$ і $\left( 0,0,c \right)$ відповідно, то вона може бути записана у вигляді

$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.

Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини в декартовій системі координат

$Ax+By+Cz+D=0$ , $A^2+B^2+C^2 \neq 0$

при цьому $A$, $B$, $C$, $D$ – сталі, а вектор з координатами $\left( A,B,C \right)$ є нормальним вектором площини.

Якщо у цьому рівнянні деякі із коефіцієнтів рівні нулю, то такі рівняння називають неповними рівняннями площини.

У векторній формі:

$\left( r,N \right) + D = 0$

де вектор $N=\left( A,B,C \right)$ перпендикулярний до площини (нормальний вектор).

Поділ відрізка у заданому відношенні

Поділ відрізка у заданому відношенні

Нехай маємо дві точки $A(x_1;y_1;z_1)$, $B(x_2;y_2;z_2)$ і потрібно знайти точку $M$ на відрізку $AB$, яка ділить його у відношенні $\lambda=\frac{AM}{MB}$$\left( \lambda \neq -1 \right)$ . Координати точки $M \left( x;y;z \right)$ шукаємо за формулами:

$\begin{cases} x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\\ y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda},\\ z=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda}; \end{cases}$

У випадку поділу відрізку навпіл $\left( \lambda = 1 \right)$ отримаємо відомі формули:

$\begin{cases} x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\\ y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda},\\ z=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda}; \end{cases}$

Зауваження 2.1. Якщо $\lambda>0$ , то точка $M$  лежить між точками $A$  та $B$, а якщо ж $\lambda<0$, то поділ відрізка виконується зовнішнім чином, тобто точка $M$ лежить на продовженні відрізка $AB$ .

Афінна система координат і ПДСК

Афінна система координат і ПДСК

Розглянемо як вводяться системи координат у просторі. Нехай маємо тривимірний простір $P$ і нехай $V$ – тривимірний векторний простір на полем $\mathbb{R}$.

Означення 1.1. Афінним репером $R$ у просторі називають упорядковану четвірку точок $O$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, які не лежать на одній прямій, і записують $R=\left(O,A_1,A_2,A_3 \right)$ .

Оскільки точки $O$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ не лежать в одній площині, то напрямлені відрізки $OA_1$, $OA_2$ і $OA_3$ визначають некомпланарні вектори $\vec{OA_1}=\vec{e_1}$, $\vec{OA_2}=\vec{e_2}$, $\vec{OA_3}=\vec{e_3}$, і тому трійка $\left( \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right)$ є базисом векторного простору $V$, тобто афінний репер $R$ задає базис у просторі $V$. Навпаки, задавши деякий базис $\left( \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right)$ векторного простору $V$ і точку $O$ у просторі $P$, знайдемо на ній точки $A_1$, $A_2$ і $A_3$ такі, що $\vec{OA_1}$ є вектор $\vec{e_1}$, $\vec{OA_2}$ – $\vec{e_2}$, а $\vec{OA_3}$ – $\vec{e_3}$. Як результат матимемо упорядковану четвірку точок $O$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, які не лежать на одній площині, тобто афінний репер $\left( O, A_1, A_2, A_3 \right)$. Таким чином, афінний репер $R$ можна задати точкою $O$ (початок системи координат) і трьома некомпланарними векторами $\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$, $\vec{e_3}$ (координатні вектори). Записують $R=\left(O, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right)$ . Пряма $OA_1$ , на якій додатний напрям визначає вектор $\vec{e_1}$ називається віссю абсцис і позначається $Ox$, пряма $OA_2$, на якій додатний напрям визначає вектор $\vec{e_2}$ називається віссю ординат і позначається $Oy$, а пряма $OA_3$, на якій додатний напрям визначає вектор $\vec{e_3}$ називається віссю аплікат і позначається $Oz$. Всі три осі разом називають осями координат. Казатимемо, що в тривимірному просторі $P$ задана афінна система координат $Oxyz$, як тільки задано афінний репер $\left( O, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right)$.

Нехай у просторі задано афінний репер $\left(O, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right)$ і нехай $M$ – довільна точка простору. Оскільки радіус-вектор $\vec{OM}$ належить векторному простору $V$, для якого упорядкована трійка векторів $\left(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right)$ є базисом, то існує єдина пара чисел $\left(x,y\right)$ , які є координатами вектора $\vec{OM}$ відносно базису $\left(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right)$ , а отже має місце подання

$OM=x\vec{e_1}+y\vec{e_2}+z\vec{e_3}$ .

Означення 1.2. Афінними координатами точки $M$ відносно репера $\left(O, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right)$ (в афінній системі координат $\left(O, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right)$ називають координати $x$, $y$, $z$ радіус-вектора $\vec{OM}$ відносно базису $\left(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right)$. Коефіцієнт $x$ останнього розкладу називають абсцисою, коефіцієнт $y$ – ординатою, а коефіцієнт $z$ – аплікатою точки $M$ і записують $M\left(x,y,z\right)$.

Означення 1.3. Афінну систему координат $\left(O, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \right)$ називають декартовою системою координат, якщо $|\vec{e_1}|=|\vec{e_2}|=|\vec{e_3}|=1$ (вектори базису є одиничними векторами), а декартову систему координат називають декартовою прямокутною системою координат, якщо вектори $\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$ і $\vec{e_3}$ ортогональні.

Рівняння прямої

Рівняння прямої

Означення 1. Напрямним вектором прямої називається вектор, який лежить на цій прямій, або на паралельній до неї.

Існують такі задання рівняння прямої:

• загальне рівняння прямої;
• канонічне рівняння прямої;
• рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки;
• параметричне рівняння прямої.

Параметричне рівняння прямої

Параметричне рівняння прямої

$\begin{cases} x=x_0+lt,\\ y=y_0+mt, \\ z=z_0+nt, \end{cases}$

де $M\left(x_0;y_0;z_0 \right)$ – точка прямої, а $\vec{p}\left(l;m;n \right)$ – напрямний вектор прямої.

Рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки $M_1 (x_1;y_1;z_1 )$ і $M_2 (x_2;y_2;z_2 )$:

$\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{z-z_1}{z_2-z_1}$.

Насправді, це рівняння є різновидом канонічного рівняння прямої у випадку, коли $\vec{p}=\left(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1 \right)$, а $M\left(x_1;y_1;z_1 \right)$.

Канонічне рівняння прямої

Канонічне рівняння прямої



$\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}$,

де $M\left(x_0;y_0;z_0 \right)$ – точка прямої, а $\vec{p}\left(l;m;n \right)$ – напрямний вектор прямої.

Загальне рівняння прямої

Загальне рівняння прямої в декартовій системі координат



$\begin{cases} A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0,\\ A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0, \end{cases}$

де $A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0$ і $A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0$ – задані рівняння площин.

Взаємне розташування 2-х прямих у просторі

Взаємне розташування 2-х прямих у просторі

Нехай маємо дві прямі $l_1$ та $l_2$, а $\vec{p_1}$, $\vec{p_2}$ – відповідні напрямні вектори. Можливі чотири випадки взаємного розміщення цих прямих у просторі:

• Прямі співпадають (накладаються одна на одну): $l_1=l_2$, $\vec{p_1}\parallel\vec{p_2}$.
• Прямі паралельні між собою: $l_1\parallel l_2$, $\vec{p_1}\parallel\vec{p_2}$.
• Прямі перетинаються (тобто мають одну спільну точку): $l_1\cap l_2=M$ – точка перетину цих прямих і $\vec{p_1}\nparallel\vec{p_2}$.
• Прямі не лежать в одній площині (мимобіжні прямі): $l_1$ і $l_2$ не перетинаються, і $\vec{p_1}\nparallel\vec{p_2}$.

Кут між прямими у просторі

Кут між прямими

Означення 9.1. Як і на площині, у просторі кутом між прямими, що перетинаються називають менший з кутів, що утворився при перетині цих прямих. Якщо дві прямі паралельні або співпадають, то, природно вважати, що кут між ними дорівнює $0\degree$ . Кутом між мимобіжними прямими називають кут між прямими, які перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим.

Означення 9.2. Якщо кут між прямими $\phi=90 \degree$, то такі прямі називають перпендикулярними.

Кут між двома прямими у просторі вимірюється кутом між їхніми напрямними векторами.

При цьому слід розуміти, що, вибравши на одній із прямих напрямний вектор, напрямлений в протилежну сторону, дістанемо другий кут, який доповнює перший до повного.

Тому, якщо $\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{k_1}$ і $\frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{k_2}$ – задані дві прямі, то їхні напрямні вектори $\vec{p_1}=\{m_1;n_1;k_1 \}$ і $\vec{p_2}=\{m_2;n_2;k_2 \}$, то кут між ними можна знайти, використовуючи наступні формули:

$\cos{\phi}=\dfrac{|m_1\cdot m_2+n_1\cdot n_2+k_1\cdot k_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+k_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+k_2^2}}$.

$\phi=arccos{\dfrac{|m_1\cdot m_2+n_1\cdot n_2+k_1\cdot k_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+k_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+k_2^2}}}$.

Відстань від точки до прямої

Відстань від точки до прямої

Означення 1. Відстань від точки до прямої – це довжина найкоротшого вектора, проведеного до прямої з цієї точки. Оскільки таким вектором є перпендикуляр, опущений на пряму, то відстань рівна довжині цього перпендикуляра. (Якщо дана точка лежить на прямій, то зрозуміло, що відстань від цієї точки до даної прямої дорівнює $0$ ).

Якщо точка $M_1=\{x_1;y_1;z_1 \}$ – лежить на прямій $l$ з напрямним вектором $\vec{p}=\{m;n;k\}$, то відстань від точки $M_0 \left(x_0,y_0,z_0 \right)$ до прямої $l$ знаходять за формулою

$d=\dfrac{|\vec{M_0M_1}\cdot \vec{p}|}{|\vec{p}|}$.

Взаємне розташування прямої і площини

Взаємне розташування прямої і площини



Нехай маємо пряму $l$ з напрямним вектором $\vec{p}$ і площину $\alpha$ з нормальним вектором $\vec{n}$. Можливі такі випадки взаємного розміщення цієї прямої і площини у просторі:

• Пряма належить площині: $l\in\alpha$, $\vec{p}\perp\vec{n}$.
• Пряма і площина мають одну спільну точку, тобто перетинаються: $l\cap\alpha=M$ – точка перетину.
• Пряма і площина не мають спільних точок: $l\notin\alpha$ і $\vec{p}\perp\vec{n}$ .

Кут між прямою та площиною

Кут між прямою та площиною

Означення 1. Кут між прямою та площиною – це кут між прямою та її проекцією на цю площину.

Якщо в просторі задані напрямний вектор $\vec{p}=\{l;m;n\}$ деякої прямої і рівняння деякої площини $Ax+By+Cz+D=0$, то кут між цими прямою і площиною можна знайти за формулами:

$\sin{\phi}=\dfrac{| A\cdot l+B\cdot m+C\cdot n|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$.

$\phi=\arcsin{\dfrac{| A\cdot l+B\cdot m+C\cdot n|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}}$.