a Pascal Rode 14 éve
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Schnitt ebenfalls konvex
beschränkt
Schnitt ebenfalls beschränkt
abgeschlossen
Durchsetzen gegen Mutatenstrategie
x*A*x >= y*A*x
Durchsetzen als Mutantenstrategie
falls y*Ax = x*A*x
x*A*y > y*A*y
Strategien sind wichtiger als Spieler
monomorphe Betrachtung und polymorphe Betrachtung
Auszahlung = erworbene Fitness = (erwartete) Anzahl Nachkommen
pairwise random matching
asexuelle Reproduktion
unendliche große Population von Spielern
Bedingte Wahrscheinlichkeiten an den Endknoten
System von beliefs
Menge
Preis
Auszahlungsfunktion quasi-konkav in allen reinen Strategien
quasi-konkav: Niveaumenge konvex
insbesondere: Strategiemenge konvex
konkav: f'' <= 0
konvex: f'' >= 0
H linear in p => konkav => quasi-konkav
Auszahlungsfunktion stetig
Strategiemengen kompakt und konvex
C(s*) ist Teilmenge von B(s-i *)
Finden von NGG
bei 2x3 Spielen
Teilspiele und Abweichungsanalyse
Indifferenzmethode
Problem: Ränder
Beste-Antwort Funktion
existiert immer
muss nicht existieren
Beweis (durch Widerspruch):
Man nehme an, dass in einem strikten Gleichgewicht mehr als eine Strategie mit positiver Wahrscheinlichkeit gespielt wird.
Dann folgt, dass die gespielten Strategien beste Antworten im Nash-Gleichgewicht sind, also die gleiche Auszahlung induzieren.
Dies steht im Widerspruch, dass die Auszahlung der Strategie im strikten Gleichgewicht echt größer ist als bei allen anderen Strategien.
nicht unbedingt Lösung vorhanden
siehe z.B. Matching-Pennies
Es kann vorkommen, das beim Streichen von dominierten Strategien mehrere Möglichkeiten vorhanden sind und unter Umständen unterschiedliche Gleichgewichte gefunden werden.
Es gibt keine Vorschrift, welches dieser Gleichgewichte sich tatsächlich im Spiel einstellt, daher sind alle GG als Lösung zugelassen.
falls Lösung: = NGG
nicht unbedingt pareto-optimal
Lösung in streng dominierten Strategien ist eindeutiges NGG
verbal:
Es werden Strategien eines Spielers paarweise verglichen. Eine Strategie s1 dominiert eine andere Strategie s2, wenn die Auszahlung von s1 immer mindestens so gut wie bei s2, in mindestens einem Fall sogar echt besser ist, und zwar unabhängig von der Strategiewahl aller Gegner.
formal:
si1 dominiert si2
<=>
für alle s-i gilt:
Hi(si1, s-i) >= Hi(si2, s-i)
und
für mindestens eine gegnerische Strategie s' gilt:
Hi(si1, s', s-i) > Hi(si2, s', s-i)
Semi-perfektes Gleichgewicht
Übergangsfunktion
Output-Funktion
Anfangszustand
Menge der Zustände
mit vollkommener Information
ohne vollkommene Information
ohne perfekt Recall
mit perfekt Recall
Satz von Kuhn
Harsanyi- Transformation
Auszahlungsfunktion
Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zufallsspieler (Natur)
Aktionsmengen
Informationsmengen
Spielerzerlegung
Endknoten
Entscheidungsknoten
Knoten
Spielermenge
Zusammenhang Gleichgewichte
PGG ANF entspricht PGG in Extensivformspiel
NGG entspricht NGG in Normalform entspricht NGG in AGNF
Algorithmus
Zweck
PGG in NF entspricht nicht unbedingt PGG im Extensivformspiel
NGG Normalform entspricht NGG im Extensivformspiel
Auszahlungsfunktion H
Erwartete Auszahlung bei gemischten Strategien
Auszahlungstabelle (Bimatrix)
Strategiemengen E
s-i
gemischte Strategie
reine Strategie
Spielermenge I
Das Wissen über das Wissen ... über die Rationalität der Spieler
ab 1975
zum anderen:
Experimentelle Wirtschaftstheorie
beschränkt rationales Verhalten
Biologische Spiele
Zum einen:
Industrieökonomik
Rationalitätskonzepte
Teilspielperfektheitsdebatte
1960-75
Ökonomische Gleichgewichtstheorie
Kooperative Spieltheorie
1944-59
Nullsummenspiele
Nicht kooperative Spiele
Nash-Lösungen
Buch von Neumann/Morgenstern: Games and Economic Behaviour (1944)
Industrieökonomie
Organisationstheorie
Mikro/Makro