Spieltheorie 1

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Spieltheorie 1

Tricks und Tipps

Nachfragefunktion vs. inverse Nachfragefkt.

Achtung: Genau unterscheiden! Ggf. inverse Fkt. berechnen!!

TPG gesucht, aber keine echten Teilspiele?

Nash-GG sind auch TPG !! Insbesondere wenn es nur ein einziges gibt, da TGB Teilmenge von NGG gilt

mathematische Hilfsmittel

Mengen

Schnitt kompakte und abgeschlossene Menge ist kompakt

kartesisches Produkt von kompakten, konvexen Mengen ist kompakt und konvex

konvex

Schnitt ebenfalls konvex

kompakt

beschränkt

Schnitt ebenfalls beschränkt

abgeschlossen

Lineares Gleichungssystem lösen

Reihen

Hüllentheorem

Satz über implizite Funktionen

totales Differential

Ableitungen

Rechenregeln

Grenzwertberechnung

Regel von l'Hôpital

Spiele

Hawk/Dove Spiel

Opec-Spiel

Chain-Store Spiel

Ultimatumspiel

Tragedy of the commons

Weakest-Link Spiel

Cournot-Wettbewerb

Bertrand-Wettbewerb

Messer, Stein, Papier

Matching Pennies

Chickengame

Battle of the Sexes

Gefangengendilemma

Lösungskonzepte

Evolutionär stabile Strategie

Replicator Dynamics

Bedingungen

Durchsetzen gegen Mutatenstrategie

x*A*x >= y*A*x

Durchsetzen als Mutantenstrategie

falls y*Ax = x*A*x

x*A*y > y*A*y

Konzept

Strategien sind wichtiger als Spieler

monomorphe Betrachtung und polymorphe Betrachtung

Auszahlung = erworbene Fitness = (erwartete) Anzahl Nachkommen

pairwise random matching

asexuelle Reproduktion

unendliche große Population von Spielern

Perfekt Bayes'sches Gleichgewicht

Regel von Bayes (Bedingte W'Keiten)

Sequentielle Rationalität

Bedingte Wahrscheinlichkeiten an den Endknoten

System von beliefs

Teilspielperfektes Gleichgewicht

TPG bei wiederholten Spielen

Achtung bei Indifferenz: => Fallunterscheidung

TGG müssen nicht perfekt sein

Jedes Spiel hat mindestens ein TPG

Lösen durch Rückwärtsinduktion

Cournot-Nash-Gleichgewicht

unendliche Stategiemenge

Menge

Preis

Reaktionsfunktionen

Perfektes Gleichgewicht

jedes PGG ist ein NGG

PGG sind teilspielperfekt

Lösung in gemischten Strategien = perfektes Gleichgewicht

perturbiertes Spiel

perturbierte Strategiemenge

Minimum- wahrscheinlichkeits- funktion

Pareto-Effizienz

Nash-Gleichgewichte bei wiederholten Spielen

pareto-Optimalität?

Eindeutigkeit

Beste-Antwort Korrespondenz

Fixpunktsatz

Existenzsatz

Auszahlungsfunktion quasi-konkav in allen reinen Strategien

quasi-konkav: Niveaumenge konvex

insbesondere: Strategiemenge konvex

konkav: f'' <= 0

konvex: f'' >= 0

H linear in p => konkav => quasi-konkav

Auszahlungsfunktion stetig

Strategiemengen kompakt und konvex

Beste-Antwort Menge B(s-i *)

Trägermenge C(s*)

C(s*) ist Teilmenge von B(s-i *)

in gemischten Strategien

Finden von NGG

bei 2x3 Spielen

Teilspiele und Abweichungsanalyse

Indifferenzmethode

Problem: Ränder

Beste-Antwort Funktion

existiert immer

in reinen Strategien

muss nicht existieren

Striktes Gleichgewicht

strikte GG sind Lösungen in reinen Strategien

Beweis (durch Widerspruch):

Man nehme an, dass in einem strikten Gleichgewicht mehr als eine Strategie mit positiver Wahrscheinlichkeit gespielt wird.

Dann folgt, dass die gespielten Strategien beste Antworten im Nash-Gleichgewicht sind, also die gleiche Auszahlung induzieren.

Dies steht im Widerspruch, dass die Auszahlung der Strategie im strikten Gleichgewicht echt größer ist als bei allen anderen Strategien.

strikte GG sind perfekt

Dominanz

Gleichgewichts- auswahlproblem

nicht unbedingt Lösung vorhanden

siehe z.B. Matching-Pennies

Eindeutigkeitsproblem

Es kann vorkommen, das beim Streichen von dominierten Strategien mehrere Möglichkeiten vorhanden sind und unter Umständen unterschiedliche Gleichgewichte gefunden werden.

Es gibt keine Vorschrift, welches dieser Gleichgewichte sich tatsächlich im Spiel einstellt, daher sind alle GG als Lösung zugelassen.

iterierte Elimination

falls Lösung: = NGG

nicht unbedingt pareto-optimal

starke

Lösung in streng dominierten Strategien ist eindeutiges NGG

schwache

verbal:

Es werden Strategien eines Spielers paarweise verglichen. Eine Strategie s1 dominiert eine andere Strategie s2, wenn die Auszahlung von s1 immer mindestens so gut wie bei s2, in mindestens einem Fall sogar echt besser ist, und zwar unabhängig von der Strategiewahl aller Gegner.

formal:

si1 dominiert si2

<=>

für alle s-i gilt:

Hi(si1, s-i) >= Hi(si2, s-i)

und

für mindestens eine gegnerische Strategie s' gilt:

Hi(si1, s', s-i) > Hi(si2, s', s-i)

Spieldarstellungen

Wiederholte Spiele

Darstellung als endlicher Automat

Semi-perfektes Gleichgewicht

Übergangsfunktion

Output-Funktion

Anfangszustand

Menge der Zustände

Konvexe Auszahlungsmenge

Bestrafungsniveau (maxmin-Wert) v

Folk-Theorem

Trigger-Strategien

Teilspielperfektes Gleichgewicht

Nash-Gleichgewicht

endliche Wiederholung

unendliche Wiederholung

mit Diskontierung

ohne Diskontierung

durchschnittliche Auszahlung

Pfad

Geschichte des Spiels

Strategie

Basisspiel

Extensivform

jedes EFS hat ein perfektes Gleichgewicht

mit vollständiger Information

mit vollkommener Information

ohne vollkommene Information

ohne perfekt Recall

mit perfekt Recall

Satz von Kuhn

ohne vollständige Information

Harsanyi- Transformation

formale Darstellung

Auszahlungsfunktion

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zufallsspieler (Natur)

Aktionsmengen

Informationsmengen

Spielerzerlegung

Endknoten

Entscheidungsknoten

Knoten

Spielermenge

Normalform

Agenten- normalform

Zusammenhang Gleichgewichte

PGG ANF entspricht PGG in Extensivformspiel

NGG entspricht NGG in Normalform entspricht NGG in AGNF

Algorithmus

Zweck

induzierte Normalform

PGG in NF entspricht nicht unbedingt PGG im Extensivformspiel

NGG Normalform entspricht NGG im Extensivformspiel

G=(I, E, H)

Auszahlungsfunktion H

Erwartete Auszahlung bei gemischten Strategien

Auszahlungstabelle (Bimatrix)

Strategiemengen E

s-i

gemischte Strategie

reine Strategie

Spielermenge I

Grundannahmen

Common Knowledge

Kenntnis der Spielregeln

Der Rationalität der Spieler

Das Wissen über das Wissen ... über die Rationalität der Spieler

Rationalität aller Spieler

Geschichte und Bedeutung

Geschichte

Entwicklungsetappen

ab 1975

zum anderen:

Experimentelle Wirtschaftstheorie

beschränkt rationales Verhalten

Biologische Spiele

Zum einen:

Industrieökonomik

Rationalitätskonzepte

Teilspielperfektheitsdebatte

1960-75

Ökonomische Gleichgewichtstheorie

Kooperative Spieltheorie

1944-59

Nullsummenspiele

Nicht kooperative Spiele

Nash-Lösungen

Beginn

Buch von Neumann/Morgenstern: Games and Economic Behaviour (1944)

Dissertation John Nash

Bedeutung

Wirtschaftswissenschaftliche Lehre

Industrieökonomie

Organisationstheorie

Mikro/Makro

Politikberatung

Unternehmensberatung

Mathematisierung der Sozialwissenschaften