Variables Aleatorias
Una variable aleatoria es una función que asigna a cada resultado del espacio muestral un número real.
- Ejemplo: En un experimento de lanzamiento de un dado, podemos definir una variable aleatoria X que representa el número obtenido en el dado. Los posibles valores de X son 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Conceptos Importantes
Distribución Normal
La distribución normal, también conocida como distribución de Gauss o campana de Gauss, es una distribución de probabilidad continua que es simétrica y se caracteriza por su media y desviación estándar. Muchos fenómenos naturales siguen aproximadamente una distribución normal.
Ejemplo: Supongamos que tienes una variable aleatoria continua X que representa el tiempo que tarda un estudiante en completar un examen. Si X sigue una distribución normal con media 60 minutos y desviación estándar 10 minutos, entonces la distribución de probabilidad de X será una curva simétrica en forma de campana, centrada en 60 minutos.
Desviación Estándar
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza y proporciona una medida de la dispersión de los valores en relación con la media.
Media
La media de una variable aleatoria es el valor promedio ponderado de todos los posibles valores que puede tomar. Se calcula multiplicando cada valor por su probabilidad y sumándolos.
Características
Independencia
Dos variables aleatorias son independientes si el conocimiento sobre el valor de una no afecta la distribución de la otra.
Ejemplo: Consideremos dos variables aleatorias X y Y que representan el resultado de lanzar dos monedas diferentes. Si X representa el resultado de la primera moneda (cara o cruz) y Y representa el resultado de la segunda moneda, entonces X y Y son variables aleatorias independientes. El conocimiento de que la primera moneda dio cara no afecta la distribución de la segunda moneda.
Esperanza y Varianza
Características importantes de una variable aleatoria para medir su valor promedio y su dispersión, respectivamente.
Ejemplo: Consideremos la variable aleatoria X que representa el número obtenido al lanzar un dado. La esperanza matemática de X se calcula como E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5, lo que indica que en promedio se espera obtener un valor de 3.5 al lanzar el dado. La varianza de X se calcula como Var(X) = ((1-3.5)^2 + (2-3.5)^2 + (3-3.5)^2 + (4-3.5)^2 + (5-3.5)^2 + (6-3.5)^2)/6 = 2.92. Esto indica que los valores obtenidos al lanzar el dado tienden a dispersarse alrededor de 3.5, con una varianza de 2.92.
Frecuencia y Distribución de Frecuencia
Histograma
Es un gráfico de barras que representa una distribución de frecuencias. Permite visualizar la forma y la concentración de los valores en diferentes intervalos de clase.
Frecuencia relativa de clases
Proporciona la proporción de valores que caen dentro de un intervalo de clase en relación con el tamaño total del conjunto de datos. Permite comparar la importancia relativa de diferentes intervalos de clase.
Frecuencia de clase
Indica cuántos valores caen dentro de un intervalo de clase en una distribución de frecuencias. Ayuda a comprender la concentración de valores en intervalos específicos.
Intervalos de clase
Agrupan los datos continuos en rangos o intervalos para construir una distribución de frecuencias. Facilitan la organización y el análisis de grandes conjuntos de datos continuos.
Distribución de frecuencias
Presenta la frecuencia de cada valor en un conjunto de datos en forma de tabla o gráfico. Es útil para resumir y visualizar la distribución de los valores y su frecuencia.
Frecuencia Acumulada
Muestra la suma acumulada de las frecuencias absolutas a medida que se recorren los valores en orden ascendente. Permite analizar la distribución acumulada de los valores y su relación con el total.
Frecuencia Relativa
Proporciona la proporción de veces que aparece un valor en relación con el tamaño total del conjunto de datos. Ayuda a comparar la importancia relativa de diferentes valores en el conjunto.
Frecuencia Absoluta
Indica cuántas veces aparece un valor en un conjunto de datos. Es útil para contar la ocurrencia de valores específicos y comprender su frecuencia de aparición.
Funciones
De Distribución Acumulativa
La función de distribución acumulativa de una variable aleatoria X, denotada como F(x), proporciona la probabilidad de que X sea menor o igual a un valor dado x. Es una función creciente y suave que va de 0 a 1.
Ejemplo: Tomando como ejemplo al dado, en el cual los posibles valores aleatorios de X serían 1, 2, 3, 4, 5, 6, la función de distribución acumulativa F(x) sería:
F(1) = 1/6
F(2) = 2/6
F(3) = 3/6
F(4) = 4/6
F(5) = 5/6
F(6) = 6/6 = 1
De Densidad
La función de densidad asigna la probabilidad de que una variable aleatoria continua caiga en un intervalo específico.
- Ejemplo: Para la variable aleatoria Z del ejemplo anterior, la función de densidad asigna la probabilidad de que Z caiga en un intervalo específico. Por ejemplo, la función de densidad puede ser f(z) = 0.02 para 150 ≤ z ≤ 180, indicando que la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga una altura entre 150 cm y 180 cm es 0.02.
De Distribución
La función de distribución de una variable aleatoria discreta es la probabilidad acumulada de que la variable sea menor o igual a un valor dado.
- Ejemplo: La función de distribución de la variable aleatoria Y del ejemplo anterior se puede representar mediante una tabla o un gráfico, donde se muestra la probabilidad acumulada de que Y sea menor o igual a un valor dado. Por ejemplo, F(0) = 1/8, F(1) = 4/8, F(2) = 7/8, F(3) = 1.
Masa de Probabilidad
Asigna probabilidades a cada valor posible de una variable aleatoria discreta.
- Ejemplo: Para la variable aleatoria Y del ejemplo anterior, la función masa de probabilidad asigna probabilidades a cada valor posible. Por ejemplo, P(Y = 0) = 1/8, P(Y = 1) = 3/8, P(Y = 2) = 3/8, P(Y = 3) = 1/8.
Distribución de Probabilidad
Es una función que asigna a cada valor posible de dicha variable una probabilidad.
- Ejemplo: En el experimento del dado, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X se puede representar mediante una tabla o un gráfico, donde se asigna una probabilidad a cada posible valor de X. Por ejemplo, P(X = 1) = 1/6, P(X = 2) = 1/6, etc
Continua
Una distribución de probabilidad continua describe la probabilidad de que una variable aleatoria continua caiga dentro de un rango específico de valores. Se puede representar mediante una función de densidad de probabilidad (FDP) que asigna una densidad de probabilidad a cada valor posible.
Ejemplo: supongamos que tienes una variable aleatoria Z que representa la altura de una persona seleccionada al azar de una población. Si la distribución de Z sigue una distribución normal con media 170 cm y desviación estándar 5 cm, entonces la función de densidad de probabilidad (FDP) sería una curva suave que describe la probabilidad de que una persona tenga una altura específica.
Una distribución de probabilidad discreta describe la probabilidad de ocurrencia de cada valor individual en una variable aleatoria discreta. Se puede representar mediante una función de masa de probabilidad (FMP) que asigna una probabilidad a cada valor posible.
Ejemplo: supongamos que tienes una moneda justa y defines la variable aleatoria Y como el número de caras obtenidas en tres lanzamientos consecutivos. La distribución de probabilidad discreta para Y sería:
P(Y = 0) = 1/8
P(Y = 1) = 3/8
P(Y = 2) = 3/8
P(Y = 3) = 1/8
Tipos
Continuas
Una variable aleatoria es continua si toma valores en un conjunto infinito no numerable.
- Ejemplo: Consideremos una variable aleatoria Z que representa la altura de una persona seleccionada al azar de una población. Los posibles valores de Z son todos los números reales en un rango determinado, por ejemplo, entre 150 cm y 180 cm.
Discreta
Una variable aleatoria es discreta si toma valores en un conjunto numerable.
- Ejemplo: Consideremos una variable aleatoria Y que representa el número de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces. Los posibles valores de Y son 0, 1, 2 y 3.
