Números Reales

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Axiomas de los Numeros Reales

door Cesar Villa Carabez

DIVISION DE LA QUIMICA

door Odalis Cedeno

Conjuntos Numericos

door Christopher Herrera

FUNCIÓN EXPONENCIAL

door Kelly Geraldine Cordova Morales

Números Reales

NUMEROS RACIONALES Q

propiedades

opuesto

la suma de una fracción con su opuesto da cero

a/b + (-a/b) =0

2/3 + (-2/3)= (2-2)/3 = 0/3 = 0

neutro

3/5 + 0 = 3/5 + 0/5 = (3+0)/5 =3/5

el elemento neutro para la suma de fracciones es 0

a/b + 0 = a/b

distributiva

el producto de una suma, es igual a la suma de los producto

3/4x(2/3+4/5)

(3/4x2/3)+(3/4x4/5)

(3/4)x(4/5) = 12/20= 6/10= 3/5

(3/4)x(2/3) = 6/12 = 3/6= 1/2

1/2+3/5

procedemos a la multiplicación cruzada y luego la multiplicación de los denominadores

(5+6)/10 = 11/10

se puede aplicar cuando veas una cantidad por fuera de un paréntesis multiplicando y que dentro del paréntesis halla una suma o resta

asociativa

si debes sumar 3 o mas fracciones, puedes agrupar algunas de ellas he ir sumando este resultado con las demas fracciones

1/3+3/4+1/6= 5/4

1/3+(3/4+1/6)

(1/3+3/4)+1/6

resolvemos los paréntesis

1/3+(3/4+1/6)= 1/3+(9+2)/12= 1/3+11/12=(4+11)/12= 15/12=5/4

conmutativa

no importa el orden en que sumes 2 o mas fracciones el resultado siempre va a ser el mismo

3/4 + 1/6 +1/3

MCM de 4,6,3 =12

(9+2+4)/12

1/3 + 3/4 + 1/6

MCM de 3,4,6 MCM=12

el MCM lo dividimos por cada denominador y lo multiplicamos por el numerador de cada fracción

(4+9+2)/12

15/12 al simplificarlo es = 5/4

la propiedad conmutativa se cumle

clausurativa

se cumple si sumas 2 fracciones y el resultado es otra fracción

1/5 + 3/5 = 4/5

su resultado es otro numero Q

3/5 ϵ Q

1/5 ϵ Q

pueden ser positivos o negativos

negativo: -3/5 = 3/-5

-3/2 + -2/3

MCM de 2y3 = 2*3= 6

multiplicación en x -3*3= -9 y -2*2=-4

((-9)+(-4))/6

-13/6

positivo: 3/5 = -3/-5

(2/7)x(49/4)

7x4

podemos escribir el 4 como 2x2

2x49

podemos escribir el 49 como 7x7

(2x7x7)/(7x2x2)

eliminamos 7 7 y 2 2 numerador y denominador = 7/2

(5/6):(15/12)

la división de fraccionarios se calcula multiplicando en x numerador y denominador

6x15=90

5x12=60

60/90 lo simplificamos

60/90 = 30/45 = 10/15 = 2/3

2/3 + 1/4

MCM de 3y4= 3*4=12

multiplicacion en x: 2*4=8 y 1*3=3

(8+3)/12 = 11/12

cualquier numero que se puede escribir en forma de fracción

a/b

b no puede ser igual 0

a y b son números enteros Z

Q={a/b /aybϵZ , y b≠0}

Números Irracionales

Ejemplos

Ejemplo de números I Trascendentales

Número de Euler (e)= 2,718281828459…

Número Áureo (φ) = 1,618033988749…

Pi (𝝅) = 3.141592653589…

Ejemplos de números I Algebraicos

0,1961325454898161376813268743781937693498749…

√7

Cerrada: Todo número irracional sumado, restado, multiplicado o dividido no siempre dará como resultado un número irracional. Esto no se cumple en el caso de la radicación. es decir que el resultado de la suma o resta de un número irracional, siempre será un número irracional. En efecto, los números irracionales son cerrados bajo a suma, más no bajo la multiplicación pues la multiplicación de dos irracionales puede ser racional.

Por ejemplo √2 es irracional y si lo multiplicamos por √8 tendremos √2*√8 = √16 que es 4, un número racional.

La multiplicación es distributiva en relación a las operaciones de suma y resta.

Ejemplo: (3 + 2) 𝝅 = 3𝝅 + 2𝝅 = 5𝝅.

Elemento opuesto: Existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula.

Por ejemplo 𝝅-𝝅=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir, ϕ×1/ ϕ = 1.

Asociativa: Pueden ser agrupados. La distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación.

Por ejemplo: Siendo (ϕ+𝝅)+e=ϕ+ (𝝅+e); y de la misma manera con la multiplicación: (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).

Conmutativa: Los números I puede ser sumados o multiplicados.

Por ejemplo: Suma: 𝝅 + ϕ = ϕ + 𝝅 Multiplicación: 𝝅 × ϕ=ϕ × 𝝅. Ejemplo Numérico: (3 + 2) 𝝅 = 3𝝅 + 2𝝅 = 5𝝅.

Operaciones Básicas

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división no están bien definidas porque éstas al aplicarse a números I no tienden a dar como resultado números I. Tomando esto en cuenta, son importantes las siguientes observaciones:

Tiene su elemento opuesto o negativo que lo anula.

Por ejemplo 𝝅-𝝅=0

Si un número racional (que no sea cero) es multiplicado por un número I el producto será I.

Concluimos que 3𝝅 es irracional.

Si un número racional es sumado con uno irracional, el resultado siempre será irracional.

Concluimos que ½+√2 es irracional.

Notación

Son representados por la letra I mayúscula porque con la i minúscula se representan los números imaginarios. También suelen ser representados de la siguiente manera R-Q (esto quiere decir Números Reales – Números Racionales). Sin embargo, es importante mencionar que existen números I que tienen sus propios símbolos. Este es el caso de:

Número áureo: φ = 1.61803398874...

Número Pi: 𝝅 = 3,14159 26535...

Características

No pueden representarse como una división de dos números enteros.

Tiene propiedades conmutativas y asociativas.

Tienen cifras decimales infinitas.

Son representados por la letra I.

No pueden ser expresados como fracción.

Pueden ser algebraicos o trascendentes.

Forman parte del conjunto de los números reales.

Los números irracionales (I) son aquellos que NO pueden ser expresados en fracciones porque contienen elementos decimales indeterminados, es decir, están conformados por todos los números decimales cuya parte decimal posee cifras infinitas. Los (I) Son utilizados en operaciones matemáticas complejas como ecuaciones algebraicas y formulas físicas.

Clasificación

Los números trascendentes son aquellos que provienen de las funciones trascendentes trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. Estos números no son números finitos de radicales libres o anidados. Ejemplo: El número Pi =3.141592653589…; El número áureo= 1,618033988749…; El número de Euler = 2,718281828459…

Los números algebraicos son aquellos que provienen de resolver alguna ecuación algebraica y son números finitos de radicales libres o anidados. Ejemplo: las raíces no exactas 1.- √5 = 2.2306 2.-√6 = 2.4494 3.-√2 = 1.4142

Naturales

Potenciación

son una operación matemática entre dos términos denominados: base {\displaystyle a}a y exponente {\displaystyle n}n. Se escribe {\displaystyle a^{n}}a^{n} y se lee normalmente como «a elevado a la n». Hay algunos números exponentes especiales como el 2, que se lee al cuadrado, y el 3, que se lee al cubo.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Minimo común múltiplo

Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será

72 | 2 36 | 2 18 | 2 9 | 3 3 | 3 1 |

50 | 2 25 | 5 5 | 5 1 |

(abreviado m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor múltiplo común de todos ellos (o el ínfimo del conjunto de los múltiplos comunes). Este concepto ha estado ligado históricamente con números naturales, pero se puede usar para enteros negativos o Número complejo.

Maximo común divisor

Ej: (12, 18)= 6

El máximo común divisor de dos números a y b es el número más grande que divide a a y divide a b.

se define el máximo común divisor (abreviado mcd) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar residuo alguno (sin que sobre algún número).

Descomposición en factores primos de un número compuesto

Ej: 180 i 2 90 i 2 45 i 3 15 i 3 5 i 5 1 i

Ej: 24 | 2 12 | 2 6 | 2 3 | 2 1 | Se expresa 24= 2*2*2*3=24

Todo número compuesto se puede escribir como multiplicación de dos o más factores primos. Para descomponer un número en producto de factores primos se siguen estos pasos: 1° Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical (actúa como "ventana" de división) y a su derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7,... ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto. 2° Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1.

Propiedades

Inverso

El opuesto de un número sumado con el propio número nos da 0 como resultado. Ejemplo: 3 + (-3) = 0

El inverso de un número multiplicado por el número nos da 1 como resultado. Ejemplo: 3 * 1/3 = 1

No debe confundirse el inverso de un número con su opuesto. Mientras que el inverso es 1/x, el opuesto es igual a -x. Es decir, el inverso de 2 es igual a 1/2 mientras que su opuesto será igual a -2.

El inverso de un número es igual a otro número que obtenemos al resolver la operación 1/x, siendo x el número inicial.

Neutro

Ej: 4+0=4

Cualquier número mas cero (0) es igual al mismo número

Distributiva

Para cualesquiera números reales a, b, y c: La multiplicación se distribuye sobre la suma: a(b + c) = ab + ac La multiplicación se distribuye sobre la resta: a(b – c) = ab – ac

La propiedad distributiva de la multiplicación puede usarse cuando multiplicas un número por una suma. Por ejemplo, supón que quieres multiplicar 3 por la suma de 10 + 2. 3(10 + 2) = ?

Ej: 6(5 – 2) = 6(3) = 18 6(5) – 6(2) = 30 – 12 = 18

La propiedad distributiva de la multiplicación es una propiedad muy útil que nos permite reescribir expresiones en las que estás multiplicando un número por una suma o una resta. La propiedad dice que el producto de una suma o una resta como 6(5 – 2), es igual a la suma o resta de los productos, en este caso, 6(5) – 6(2).

Conmutativa

Ej: 7 * 12 = 84 12 * 7 = 84

Ej: 30 + 25 = 55 25 + 30 = 55

El resultado sera el mismo sin importar el orden y solo aplica para la suma y la multiplicacion en esta propiedad

Asociativa

El modo de agrupar los factores no varía el resultado

Ej: (a * b) * c = a * (b * c) (2 * 3) * 5 = 2*(3 * 5) 6 * 5 = 2 * 15 30 = 30

Ej: (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 5 + 5 = 2 + 8 10 = 10

La propiedad asociativa dice que es el resultado de una operación, en la que interviene tres o más números, es independiente del agrupamiento de los números.

Clausurativa

Operaciones que cumplen con esta condición suma y multiplicación

Ej: 3*2 = 6

Ej:3 + 4 = 7

indica que si se suman o multiplican números de un conjunto obtendremos números de dicho conjunto.

Caracteristicas

Se dividen:

Primos

Ej: 4,6,8,9.....

Compuestos

Ej: (2,3,5,7, 11..)

Propio

Ej: 1

Sirven para contar u ordenar eleme ntos vacios

Se simboliza N=(1,2,3,4..... n, n+1)

Operaciones Basicas

Adición

Ej: a + b = c

Es una opearción binaria llamado suma

Multiplicación

Es la multiplicación entre dos factores para adquirir un producto

Ej: a * b = c

División

La división es la operación inversa a la multiplicación. La división, consiste en averiguar cuántas veces el divisor está contenido en el dividendo.

Ej: 4 * a = 20 / 4 = a

Sustraccción

Es una operación aritmetica de resta

Ej: a - b = c

NUMEROS ENTEROS

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse tal y como los números naturales, pero siempre obedeciendo a las normas que determinan el signo resultante

PROPIEDADES

MULTIPLICACION

Subtopic

Multiplicación. La multiplicación de enteros se realiza multiplicando normalmente los valores absolutos, y luego aplicando la regla de los signos

RESTA

Resta de dos números negativos con resultado negativo: (-5) – (-2) = (-5) + 2 = -3

Resta de dos números positivos con resultado negativo: 5 – 10 = -5

Resta de dos números positivos con resultado positivo: 10 – 5 = 5

La resta de números enteros atiende también al signo, dependiendo de cuál sea mayor y cuál menor en cuanto a valor absoluto, obedeciendo a la regla de que dos signos iguales juntos se convierten en el contrario

SUMA

Por ejemplo: -4 + 5 = 1

Si tienen signos diferentes, en cambio, deberá restarse el valor absoluto del menor al del mayor, y se conservará en el resultado el signo del mayor

Por ejemplo: -1 + -1 = -2

Si ambos signos son negativos o uno de los dos es cero, simplemente se deben sumar sus valores absolutos y se conserva el signo negativo

ejemplo: 1 + 3 = 4

Si ambos son positivos o uno de los dos es cero, simplemente se deben sumar sus valores absolutos y se conserva el signo positivo

Para determinar la suma de dos enteros, debe prestarse atención a sus signos