Relações

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imediato

Para x < z < y, sendo (x,y) pertencente à relação, não deve existir (x,z) e (z,y) pertencente à relação relação.

Exemplo: x divide y em {1, 2, 3, 6} predecessores imediatos: 1, 2

podem ser simétrica e TAMBÉM anti-simétrica

Relações

Ordem Parcial

predecessor

predecessor imediato

sucessor

sucessor imediato

É uma relação binária e, um conjunto S que seja: - reflexiva - anti-simétrica - transitiva

fecho

Uma relação binária p* em um conjunto S é fecho de uma relação p em S em relação a propriedade P se: 1. p* tem a pripriedade P 2. p está contido em p* 3. p* é subconjunto de qualquer outra relação em S que inclua p e tenha a propriedade P. Ou seja, o menos conjunto

anti-simétrico

não faz sentido, porque o fecho da relação anti-simétrica é a própria relação anti-simétrica. Uma relação que não é anti-simétrica significa que existe x e y pertencentencente ao universo, (x,y) pertence à relação e (y,x) também, mas x != y. Adicionar novos pares à relação não mudaria o fato deste x e y existir na relação.

simétrico

reflexivo

transitivo

relação de igualdade (ou subconjunto desta relação)

propriedades

Revisão: Problema Prático

4

5

simétricas

Condicional: Lembre-se da tabela verdade Apenas saber que uma relação é simétrica não dá nenhuma informação sobre os seus pares ordenados. É necessário conhecer alguns pares ordenados e saber que a relação é simétrica, assim saberemos que outros pares ordenados pares ordenados também tem que pertencer à relação. Também podemos conhecer a relação e o universo e, a partir disso, definimos se a relação é ou não simétrica.

anti-simétricas

Condicional: Lembre-se da tabela verdade para condicional. Na anti-simétrica, se x e y pertencem ao universo, (x,y) pertence à relação, mas (y,x) não pertence para qualquer x e y. Então é anti-simétrica, pois o antecedente da condicional é sempre false e, portanto, a condicional será sempre verdadeira.

Condicional: Lembre-se da tabela verdade para condicional. Se x e y pertence ao universo, se (x,y) pertence à relação, mas (y,x) não pertence para qualquer x e qualquer y -quantificadores universais- então é anti-simétrica

transitivas

Condicional: Lembre-se da tabela verdade para condicional. Devido a presença da implicação, só não são transitivas as as relações em que (x,y) e (y,z) pertencem a relação, mas (x,z) não pertence. Caso z pertença ao universo, mas não pertença à relação, então a relação é transitiva, pois antecedente do condicional não será verdadeiro. Como o quantificador da transitiva é universal, para qualquer valor de z do universo (y,z) não deve pertencer a relação.

reflexivas