imediato
Para x < z < y, sendo (x,y) pertencente à relação, não deve existir (x,z) e (z,y) pertencente à relação relação.
Exemplo:
x divide y em {1, 2, 3, 6}
predecessores imediatos: 1, 2
podem ser simétrica e TAMBÉM anti-simétrica
Relações
Ordem Parcial
predecessor
predecessor imediato
sucessor
sucessor imediato
É uma relação binária e, um conjunto S que seja:
- reflexiva
- anti-simétrica
- transitiva
fecho
Uma relação binária p* em um conjunto S é fecho de uma relação p em S em relação a propriedade P se:
1. p* tem a pripriedade P
2. p está contido em p*
3. p* é subconjunto de qualquer outra relação em S que inclua p e tenha a propriedade P. Ou seja, o menos conjunto
anti-simétrico
não faz sentido, porque o fecho da relação anti-simétrica é a própria relação anti-simétrica. Uma relação que não é anti-simétrica significa que existe x e y pertencentencente ao universo, (x,y) pertence à relação e (y,x) também, mas x != y. Adicionar novos pares à relação não mudaria o fato deste x e y existir na relação.
simétrico
reflexivo
transitivo
relação de igualdade
(ou subconjunto desta relação)
propriedades
Revisão: Problema Prático
4
5
simétricas
Condicional: Lembre-se da tabela verdade
Apenas saber que uma relação é simétrica não dá nenhuma informação sobre os seus pares ordenados.
É necessário conhecer alguns pares ordenados e saber que a relação é simétrica, assim saberemos que outros pares ordenados pares ordenados também tem que pertencer à relação.
Também podemos conhecer a relação e o universo e, a partir disso, definimos se a relação é ou não simétrica.
anti-simétricas
Condicional: Lembre-se da tabela verdade para condicional.
Na anti-simétrica, se x e y pertencem ao universo, (x,y) pertence à relação, mas (y,x) não pertence para qualquer x e y. Então é anti-simétrica, pois o antecedente da condicional é sempre false e, portanto, a condicional será sempre verdadeira.
Condicional: Lembre-se da tabela verdade para condicional.
Se x e y pertence ao universo, se (x,y) pertence à relação, mas (y,x) não pertence para qualquer x e qualquer y -quantificadores universais- então é anti-simétrica
transitivas
Condicional: Lembre-se da tabela verdade para condicional.
Devido a presença da implicação, só não são transitivas as as relações em que (x,y) e (y,z) pertencem a relação, mas (x,z) não pertence. Caso z pertença ao universo, mas não pertença à relação, então a relação é transitiva, pois antecedente do condicional não será verdadeiro. Como o quantificador da transitiva é universal, para qualquer valor de z do universo (y,z) não deve pertencer a relação.
reflexivas
