Основні побудови. Геометричне місце точок (ГМТ)

Mais informações

Математика

por Ольга Жупанова

Підготовка до ЗНО з математики 2021

por Альона Лисенко

Трикутники

por Наталія Городюк

Геометрія 9-ий клас

por Євген Кравцов

Задачі для самостійного опрацювання

1. Дано точки А і В. Побудуйте геометричне місце точок, рівновіддалених від А і В.
2. Дано прямий кут. Побудуйте геометричне місце точок, які лежать усередині цього кута і рівновіддалені від його сторін.
3. Побудуйте геометричне місце точок, які віддалені від даної точки на дану відстань а.
4. Чим є геометричне місце точок, які лежать на даній відстані від даної прямої? Виконайте відповідний малюнок.
5. Дано дві паралельні прямі. Побудуйте геометричне місце точок, рівновіддалених від цих прямих.
6. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, що проходять через дві дані точки.
7. Знайдіть геометричне місце центрів рівних кіл, які дотикаються до даної прямої.
8. Знайдіть геометричне місце центрів рівних кіл, які проходять через дану точку.
9. Дано гострий кут. Побудуйте геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до сторін цього кута.

Відеофайл

Завдання для самостійного опрацювання

Задачі для самостійного

опрацювання

1. Побудуйте трикутник ABC за кутом А, бісектрисою l_a та висотою h_c.
2. Побудуйте трикутник за трьома медіанами.
3. Побудуйте коло, дотичне до даного кола і даної прямої у даній точці.
4. Побудуйте трикутник ABC закутом А, 

висотою h_{a ,} медіаною m_a.

5. Побудуйте трикутник ABC за R, r, a.

6. Побудуйте трикутник ABC застороною а, 

кутом А,бісектрисою l_a.

7. Побудуйте трикутник ABC, якщо відомі положення вершин Ві С,

а також пряма l, якій належить бісектриса l_а.

8. Побудуйте трикутник за серединами двох його сторін і основою висоти, проведеної до третьої сторони.

9. Побудуйте паралелограм ABCD за положенням вершин 

А і С та відстаням а і b вершин В і D до даної точки М.

10. Побудуйте рівносторонній трикутник, у якого вершини

лежать на трьох даних концентричних колах,

а центр — на даній прямій, що перети­нає ці кола.

11. Дано дві прямі, що перетинаються, і коло. Побудуйте коло, що дотикається до цих прямих і до даного кола.

12. Побудуйте квадрат так, щоб дві його вершини лежали на даній прямій, а дві інші - на даному колі.

13. Удане коло з центром О вписано трикутник ABC. Однією лінійкою проведіть у трикутнику: 

а) медіану AM; б) висоту АН; в) бісектрису AL.

14. ABCD — квадрат. Точки Е i F лежать

відповідно на сторонахВС і CD так, що кут EAF = 45°. 

Опустіть із точки А перпендикуляр на 

EF з до­помогою однієї лінійки.

Побудувати трикутник за даними сторонами

Задачі

Виконайте усно. 1. Опишіть, як поділити: а) даний відрізок на чотири рівні відрізки; б) даний кут у відношенні 1 : 3. 2. Опишіть, як побудувати: а) кут 45°; б) кут 135°.

Означення ГМТ

Суть методу ГМТ

Геометричні місця точок на площині Геометричним місцем точок (ГМТ), які мають певну властивість, називається така фігура, що складається з усіх точок площини, які мають цю властивість, і тільки з них.

Суть методу ГМТ полягає в тому, що розв’язування задач зводять до побудови однієї точки Х (основний елемент побудови), яка задовольняє умовам задач a1 і a2. Нехай F1 – множина точок, що задовольняє умові a1, F2– множина точок, що задовольняє умову a2 . Тоді точка X дорівнює перетину F1 та F2 .

Основні побудови. Геометричне місце точок (ГМТ)

Геометричні місця точок (ГМТ)

Задачі (ГМТ)

Основні побудови

На практиці розв’язування задач на побудову доцільно зводити побудову фігури до деяких типових комбінацій найпростіших побудов, тобто на основні побудови. Задачі на побудову, які вивчаються у шкільному курсі геометрії, є основними побудовами. 

Типові задачі на основні побудови:

1.    Відкласти на даному промені від його початку відрізок, рівний даному відрізку.

2.    Відкласти від даного променя в дану напівплощину кут, рівний даному куту.

3.    Побудувати трикутник за трьома сторонами.

4.    Побудувати трикутник за двома сторонами та кутом між ними.

5.    Побудувати трикутник за стороною та двома прилеглими кутами.

6.    Побудувати бісектрису даного нерозгорнутого кута.

7.    Побудувати серединний перпендикуляр даного відрізка.

8.    Побудувати середину даного відрізка.

9.    Побудувати пряму, яка проходить через дану точку перпендикулярно до даної прямої. ( Випадки: 1.Точка лежить на прямій; 2.Точка не лежить на прямій. )

10. Побудувати пряму, яка проходить через дану точку паралельно даній прямій.

11. Побудувати прямокутний трикутник за гіпотенузою і гострим кутом.

12. Побудувати прямокутний трикутник за гіпотенузою і катетом.

13. Побудувати дотичну до кола, яка проходить через дану точку на цьому колі.

14.  Дано коло (О,r) і точка А , що не лежить на ньому. Побудувати дотичну до кола, яка проходить через точку А.

При розв’язуванні задачі на побудову роботу ділять на 4 етапи: аналізу, побудови, доведення і дослідження.

Короткий опис етапів розв’язування

задач на побудову:

Аналіз: припускаємо, що задача розв’язана і виконуємо рисунок «від руки», в якому зображуємо шукану і дані фігури. Вивчаємо залежності між фігурами, поки не стане зрозуміло у якій послідовності слід виконувати побудови.

Побудова: послідовно перераховуємо ті побудови (найпростіші і основні), які необхідно виконати для розв’язування задачі. На основі цього за допомогою циркуля та лінійки покроково виконується рисунок.

Доведення: встановлюємо чи побудована фігура дійсно задовольняє всі умови задачі.

Дослідження: передбачає відповідь на два запитання:

1. Чи при кожному виборі даних задача має розв’язок, тобто шукану фігуру можна побудувати циркулем та лінійкою ?

2. Скільки різних розв’язків має задача при кожному можливому виборі даних ?