Taha capítulos 3 y 4

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Dualidad y análisis postóptimo

ANÁLISIS POSTÓPTIMO

En la sección 3.6 nos ocupamos de la sensibilidad de la solución óptima al determinar los intervalos de los diferentes parámetros de PL que mantendrían las variables básicas óptimas sin cambiar. En esta sección nos ocuparemos de los cambios de los parámetros del modelo y de la determinación de la nueva solución óptima. Considere, por ejemplo, un caso en la industria avícola, donde comúnmente se utiliza un modelo de programación lineal para determinar la mezcla de alimentos óptima por pollo (vea el ejemplo 2.2-2). El consumo semanal por pollo varía de .26 lb (120 gramos) para un pollo de una semana de edad hasta 2.1 lb (950 gramos) para un pollo de ocho semanas de edad. Además, el costo de los ingredientes en la mezcla puede cambiar periódicamente. Estos cambios requieren un nuevo cálculo periódico de la solución óptima. El análisis postóptimo determina la nueva solución de una manera eficiente.

ALGORITMOS SIMPLEX ADICIONALES

El capítulo 3 presenta el algoritmo simplex (primal) que se inicia siendo factible y continúa siéndolo hasta que se alcanza el óptimo. Esta sección presenta dos algoritmos, el simplex dual que se inicia como no factible (pero mejor que óptimo) y así permanece hasta que se restaura la factiblidad, y el simplex generalizado, que combina los métodos simplex primal y dual, los cuales se inician sin ser ni óptimos ni factibles.

INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DUALIDAD

El problema de PL puede considerarse como un modelo de asignación de recursos que busca maximizar los ingresos con recursos limitados. Considerando el problema desde este punto de vista, el problema dual asociado ofrece interesantes interpretaciones económicas del modelo de asignación de recursos.

RELACIONES PRIMAL-DUAL

Los cambios realizados en los datos de un modelo de PL pueden afectar la optimalidad y/o factibilidad de la solución óptima actual. Esta sección presenta varias relaciones primal-dual que pueden usarse para calcular de nuevo los elementos de la tabla simplex óptima. Estas relaciones constituyen la base de la interpretación económica del modelo de PL y del análisis postóptimo.

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DUAL

El problema dual se define sistemáticamente a partir del modelo de PL primal (u original). Los dos problemas están estrechamente relacionados en el sentido de que la solución óptima de uno proporciona automáticamente la solución óptima al otro.

Taha capítulos 3 y 4

Método simplex y análisis de sensibilidad

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

En PL, los parámetros (datos de entrada) del modelo pueden cambiar dentro de ciertos límites sin que cambie la solución óptima. Esto se conoce como análisis de sensibilidad y será el tema de esta sección. Más adelante, en el capítulo 4 estudiaremos el análisis post óptimo, el cual tiene que ver con la determinación de la nueva solución óptima cuando se cambian ciertos datos de entrada.

CASOS ESPECIALES EN EL MÉTODO SIMPLEX

Esta sección considera cuatro casos especiales que surgen al aplicar el método simplex. 1. Degeneración 2. Óptimos alternativos 3. Soluciones no acotadas 4. Soluciones no existentes (o no factibles) Para concluir esta sección se presenta una explicación teórica de tales situaciones,e incluso se interpreta el significado de estos casos especiales tomando como tema un problema de la vida real.

Método M

El método M se inicia con la PL en forma de ecuación . Si la ecuación i no tiene una holgura (o una variable que pueda desempeñar el papel de una), se agrega una variable artificial, Ri, para formar una solución inicial parecida a la solución básica de total holgura. Sin embargo, las variables artificiales no forman parte del problema original, y se requiere un “artificio” de modelado para igualarlas a cero en el momento en que se alcance la iteración óptima (suponiendo que el problema tenga una solución factible).

SOLUCIÓN ARTIFICIAL INICIAL

El procedimiento para iniciar PLs de “mal comportamiento” con restricciones (5) y ($) es utilizar variables artificiales que desempeñan el papel de holguras en la primera iteración, y que luego se desechan en una iteración posterior. Aquí se presentan dos métodos estrechamente relacionados: el método M, y el método de dos fases.

MÉTODO SIMPLEX

En lugar de enumerar todas las soluciones básicas (puntos de esquina) del problema de PL , el método simplex investiga sólo “algunas” de estas soluciones.

TRANSICIÓN DE LA SOLUCIÓN GRÁFICA A LA ALGEBRAICA

En el método gráfico el espacio de soluciones es la intersección de los semiplanos que representan las restricciones, y en el método simplex, el espacio de soluciones está representado por m ecuaciones lineales simultáneas y n variables no negativas.

MODELO DE PL EN FORMA DE ECUACIÓN

El desarrollo de los cálculos con el método simplex se facilita si se imponen dos requerimientos a las restricciones de programación lineal.

2. Todas las variabzzles son no negativas.

1. Todas las restricciones son ecuaciones con lado derecho no negativo.