Геометричні перетворення площини

Mai multe ca aceasta

Елементи векторної алгебри на площині і в просторі

după Анна Снігур

Математика і архітектура

după Вікторія Пастух

Методи розв'язування задач на побудову

după Ткач Карина

Механічний рух

după Андрій Ткаченко

Текущая тема

Якщо рух не змінює орієнтації площини, то його називають власним (рухом І роду), якщо змінює, то – невласним (рухом ІІ роду)

ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПЛОЩИНИ

ЗАДАЧІ

ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ОПРАЦЮВАННЯ

Гомотетія

У гострокутний трикутник АВС впишіть квадрат так, щоб дві його вершини лежали відповідно на сторонах АВ і ВС, а дві інші - на стороні АС.

Поворот

На рисунку зображено пряму а і точку О. Побудуйте образ прямої а при повороті навколо точки О проти годинникової стрілки на кут 45 градусів.

Центральна симетрія

Точка М належить куту АВС. На сторонах ВА і ВС кута знайдіть такі точки E i F, щоб точка М була серединою відрізка ЕF.

Осьова симетрія

Дано рівнобедренний трикутник АВС. Провели пряму l, яка містить бісектрису кута С. Потім увесь рисунок витерли, залишивши лише точки А і В та пряму l. Відновіть трикутник АВС.

Паралельне перенесення

Усередині паралелограма ABCD взято точку О так, що

ПОДІБНІСТЬ. ГОМОТЕТІЯ

Означення, властивості подібності.

Властивості подібності:

1.   Подібність переводить пряму в пряму, паралельні прямі в паралельні прямі.

2.   Подібність зберігає просте відношення трьох точок.

3.    При перетворенні подібності кут переходить в рівний йому кут.

4.   При подібності півплощина переходить у півплощину.

5.    Подібність змінює орієнтацію площини, якщо рух змінює

орієнтацію площини (рух невласний) і не змінює в противному (якщо рух власний). В першому випадку перетворення подібності називається невласним (перетворенням подібності 2-го роду ), в другому – власним (перетворенням подібності 1-го роду ).

Означення, властивості гомотетії.

Властивості гомотетії:

1. Гомотетія з коефіцієнтом $m$, який не дорівнює $1$ переводить пряму, яка не проходить через центр гомотетії в паралельну їй пряму, а пряму яка проходить через центр гомотетії  в себе.

2.   Гомотетія зберігає просте відношення трьох точок.

3.   Гомотетія переводить відрізок у відрізок, промінь у промінь, півплощину в півплощину.

4.   Гомотетія переводить кут у рівний йому кут.

5.   Гомотетія зберігає орієнтацію площини.

Формули аналітичного задання

Центральний гомотетії може розташовуватися і всередині фігури.

Якщо фігури розташовані на протилежних напрямах від центру гомотетії, то коефіцієнт від'ємний.

Аби гомотетія була визначена, повинен бути заданий центр гомотетії і коефіцієнт.

Класифікація рухів. Аналітичне задання. Інваріантність.

Формули аналітичного задання руху

Інваріантна точка (нерухома) перетворення – це точка, яка переходить в себе при даному перетворенні. Інваріантна пряма (нерухома) – це пряма, кожна точка якої переходить в точку цієї ж прямої при даному перетворенні . Частинним випадком інваріантної прямої,є пряма інваріантних точок, усі точки якої є інваріантними.

Інваріантна точка (нерухома) перетворення – це точка, яка переходить в себе при даному перетворенні.

Інваріантна пряма (нерухома) – це пряма, кожна точка якої переходить в точку цієї ж прямої при даному перетворенні .

Частинним випадком інваріантної прямої,є пряма інваріантних точок, усі точки якої є інваріантними.

Означення руху. Властивості.

Рухом називається таке перетворення площини, яке зберігає відстані між точками.

Впорядковану трійку точок , площини, які не лежать на одній прямій називають репером.

Позначають: $R=(A,B,C)$.

Точку $A$ називають початком, а $B,C$ – вершинами.

Властивості руху

1.    Рух переводить пряму у пряму, причому паралельні прямі в паралельні прямі.

2.    Рух зберігає просте відношення трьох точок.

3.    Рух зберігає поняття „лежати між”.

4.    Рух переводить півплощину з границею $l$ в півплощину з границею $l'$ , де $l'$ – образ прямої $l$ .

5.    Рух переводить промінь в промінь.

6.    Рух переводить кут в рівний йому кут (так як переводить трикутник в рівний йому трикутник).

Будемо говорити, що перетворення площини зберігає орієнтацію площини, якщо репер $R$ і його образ $R'$ однаково орієнтовані і змінює орієнтацію площини, якщо $R$ і $R'$ протилежно орієнтовані.